Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Обобщённые функции 109
Пример 3.
xP
1
x
= 1. (3)
Действительно, для любой функции ϕ ∈ D
xP
1
x
,ϕ(x)
=
P
1
x
,xϕ(x)
=
=
Z
+∞
0
(ϕ(x) + ϕ(−x)) dx, =
Z
+∞
−∞
ϕ(x) dx = (1,ϕ),
что и доказывает равенство (3).
Вернёмся к вопросу об определении произведения обобщён-
ных функций. Из равенств
xδ(x)
P
1
x
= 0 · P
1
x
= 0,
δ(x)
xP
1
x
= δ(x) · 1 = δ(x)
следует, что для функций x, δ(x) и P
1
x
нельзя определить про-
изведение, обладающее свойствами ассоциативности и комму-
тативности.
6.5. Носитель обобщённой функции
Для обобщённой функции нет смысла говорить о её значе-
нии в точке. Однако довольно естественными являются следу-
ющие определения.
Определение 1. Обобщённые функции f и g называютс я
равными на открытом множестве G ⊂ R, если (f,ϕ) = (g,ϕ)
для любой функции ϕ ∈ D, носитель которой содержится в G.
В этом случае пишут f = g на G. В частности, f = 0 на G,
если (f,ϕ) = 0 для любой функции ϕ ∈ D, supp ϕ ⊂ G.
Очевидно, что δ-функция равна нулю на любом открытом
множестве, не содержащем точку x = 0.
Определение 2. Объединение всех открытых множеств,
на которых обобщённая функция f равна нулю, называется
                 § 6. Обобщённые функции                  109

   Пример 3.
                            1
                          xP  = 1.                        (3)
                            x
   Действительно, для любой функции ϕ ∈ D
                                         
                     1              1
                   xP ,ϕ(x) = P ,xϕ(x) =
                     x              x
       Z +∞                      Z +∞
     =      (ϕ(x) + ϕ(−x)) dx, =      ϕ(x) dx = (1,ϕ),
         0                         −∞
что и доказывает равенство (3).
   Вернёмся к вопросу об определении произведения обобщён-
ных функций. Из равенств
                       1         1
                  xδ(x) P = 0 · P = 0,
                         x
                                  x
                        1
               δ(x) xP      = δ(x) · 1 = δ(x)
                        x
                                    1
следует, что для функций x, δ(x) и P x нельзя определить про-
изведение, обладающее свойствами ассоциативности и комму-
тативности.
6.5. Носитель обобщённой функции
   Для обобщённой функции нет смысла говорить о её значе-
нии в точке. Однако довольно естественными являются следу-
ющие определения.
   Определение 1. Обобщённые функции f и g называются
равными на открытом множестве G ⊂ R, если (f,ϕ) = (g,ϕ)
для любой функции ϕ ∈ D, носитель которой содержится в G.
   В этом случае пишут f = g на G. В частности, f = 0 на G,
если (f,ϕ) = 0 для любой функции ϕ ∈ D, supp ϕ ⊂ G.
   Очевидно, что δ-функция равна нулю на любом открытом
множестве, не содержащем точку x = 0.
   Определение 2. Объединение всех открытых множеств,
на которых обобщённая функция f равна нулю, называется

Страницы