Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Обобщённые функции 111
к f в смысле определения 1, то говорят, что f
n
сходится к f в
D
0
и пишут
f
n
→ f в D
0
при n → ∞.
Пример 1. Докажем, что последовательность функций
f
n
(x) =
0, если x < 0;
n, если 0 6 x <
1
n
;
0, если x >
1
n
,
(1)
в D
0
сходится к δ-функции.
Каждая функция f
n
(x) является локально интегрируемой
на R и на D по формуле
(f
n
,ϕ) =
Z
R
f
n
(x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ D,
порождает регулярную обобщённую функцию. Утверждение
будет доказано, если мы покажем, что (f
n
,ϕ) → ϕ(0) при n →
→ ∞ для любой функции ϕ ∈ D. А это следует из того, что
(f
n
,ϕ) =
Z
1/n
0
nϕ(x) dx = ϕ(0) + n
Z
1/n
0
(ϕ(x) −ϕ(0)) dx,
где последнее слагаемое стремится к нулю при n → ∞, так как
n
Z
1/n
0
|ϕ(x) − ϕ(0)|dx 6 max
x
|ϕ
0
(x)|n
Z
1/n
0
x dx =
=
1
2n
max
x
|ϕ
0
(x)| → 0
при n → ∞.
Таким образом, f
n
(x) → δ(x) в D
0
при n → ∞.
Пример 2. Заметим, что последовательность функций
(1) является простейшим примером так называемой δ-образной
последовательности. Напомним, что последовательность нео-
трицательных функций ψ
n
(x), x ∈ R, называется δ-образной,
                 § 6. Обобщённые функции                   111

к f в смысле определения 1, то говорят, что fn сходится к f в
D0 и пишут
                  fn → f в D0 при n → ∞.
   Пример 1. Докажем, что последовательность функций
                        0, если x < 0;
                      
                      
                                       1
                        n, если 0 6 x < n ;
                      
             fn (x) =                              (1)
                                   1
                       0, если x > ,
                      
                                    n
в D0 сходится к δ-функции.
   Каждая функция fn (x) является локально интегрируемой
на R и на D по формуле
                       Z
             (fn ,ϕ) =   fn (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ D,
                        R

порождает регулярную обобщённую функцию. Утверждение
будет доказано, если мы покажем, что (fn ,ϕ) → ϕ(0) при n →
→ ∞ для любой функции ϕ ∈ D. А это следует из того, что
             Z 1/n                     Z 1/n
   (fn ,ϕ) =       nϕ(x) dx = ϕ(0) + n       (ϕ(x) − ϕ(0)) dx,
             0                        0
где последнее слагаемое стремится к нулю при n → ∞, так как
        Z 1/n                                 Z 1/n
                                       0
      n       |ϕ(x) − ϕ(0)| dx 6 max |ϕ (x)|n       x dx =
        0                        x           0
                                1
                             =    max |ϕ0 (x)| → 0
                               2n x
при n → ∞.
   Таким образом, fn (x) → δ(x) в D0 при n → ∞.
    Пример 2. Заметим, что последовательность функций
(1) является простейшим примером так называемой δ-образной
последовательности. Напомним, что последовательность нео-
трицательных функций ψn (x), x ∈ R, называется δ-образной,

Страницы