Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

112 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
если
1)
R
R
ψ
n
(x) dx = 1 ∀n;
2) lim
n→∞
R
h
−h
ψ
n
(x) dx = 1 ∀h > 0.
Докажем, что любая δ-образная последовательность функ-
ций ψ
n
(x) в D
0
при n → ∞ сходится к δ(x).
Пусть ϕ(x) ∈ D. Нужно доказать, что
(ψ
n
,ϕ) =
Z
R
ψ
n
(x)ϕ(x) dx → ϕ(0)
при n → ∞. Положим
M = sup
x
|ϕ(x)|, M
1
= sup
x
|ϕ
0
(x)|.
Тогда
|(ψ
n
,ϕ) − ϕ(0)| =
Z
R
ψ
n
(x)(ϕ(x) − ϕ(0)) dx
6
6 2M
Z
−h
−∞
ψ
n
(x) dx + 2M
1
h
Z
h
−h
ψ
n
(x) dx + 2M
Z
+∞
h
ψ
n
(x) dx
для любого h > 0. Из свойств функций ψ
n
(x) следует, что при
n → ∞ 1-е и 3-е слагаемое стремятся к нулю, а 2-е — к 2M
1
h.
Поэтому
lim
n→∞
Z
R
ψ
n
(x)(ϕ(x) − ϕ(0)) dx
6 2M
1
h
для любого h > 0, что и доказывает, что
ψ
n
(x) → δ(x) в D
0
при n → ∞.
Пространство D
0
обобщённых функций оказывается пол-
ным. Точнее, имеет место следующее утверждение.
Теорема. Пусть последовате льность обобщённых функ-
ций f
n
, n ∈ N, такова, что для каждой функции ϕ ∈ D числовая
последовательность (f
n
,ϕ), n ∈ N, сходится. Тогда функцио-
нал f, определяемый на D равенством
(f,ϕ) = lim
n→∞
(f
n
,ϕ),
112      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

если
                           R
                      1)     R ψn (x) dx = 1 ∀ n;
                                 Rh
                      2)    lim −h ψn (x) dx = 1                 ∀ h > 0.
                           n→∞
   Докажем, что любая δ-образная последовательность функ-
ций ψn (x) в D0 при n → ∞ сходится к δ(x).
   Пусть ϕ(x) ∈ D. Нужно доказать, что
                         Z
               (ψn ,ϕ) =   ψn (x)ϕ(x) dx → ϕ(0)
                                          R
при n → ∞. Положим
                      M = sup |ϕ(x)|,                 M1 = sup |ϕ0 (x)|.
                                   x                         x
Тогда
                                              Z
         |(ψn ,ϕ) − ϕ(0)| =                       ψn (x)(ϕ(x) − ϕ(0)) dx 6
                                              R
             Z   −h                               Z   h                Z    +∞
      6 2M       ψn (x) dx + 2M1 h                    ψn (x) dx + 2M            ψn (x) dx
             −∞                                    −h                       h
для любого h > 0. Из свойств функций ψn (x) следует, что при
n → ∞ 1-е и 3-е слагаемое стремятся к нулю, а 2-е — к 2M1 h.
Поэтому
                 Z
            lim    ψn (x)(ϕ(x) − ϕ(0)) dx 6 2M1 h
                 n→∞           R
для любого h > 0, что и доказывает, что
                       ψn (x) → δ(x) в D0 при n → ∞.
  Пространство D0 обобщённых функций оказывается пол-
ным. Точнее, имеет место следующее утверждение.
   Теорема. Пусть последовательность обобщённых функ-
ций fn , n ∈ N, такова, что для каждой функции ϕ ∈ D числовая
последовательность (fn ,ϕ), n ∈ N, сходится. Тогда функцио-
нал f , определяемый на D равенством
                                       (f,ϕ) = lim (fn ,ϕ),
                                                  n→∞

Страницы