Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Обобщённые функции 113
является линейным и непрерывным на D, т.е. f ∈ D
0
.
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в
книге В.С. Владимирова «Обобщённые функции в математи-
ческой физике».
Предельный переход в D
0
можно использовать для постро-
ения новых обобщённых функций.
Пример 3. Рассмотрим последовательность функций
f
n
(x) =
1
x
, если |x| >
1
n
,
0, если |x| 6
1
n
.
Каждая функция f
n
(x) порождает обобщённую функцию:
(f
n
,ϕ) =
Z
1/n
−∞
1
x
ϕ(x) dx +
Z
+∞
−1/n
1
x
ϕ(x) dx =
=
Z
+∞
1/n
ϕ(x) −ϕ(−x)
x
dx, ϕ ∈ D,
где под интегралом стоит ограниченная функция. Следова-
тельно,
lim
n→∞
(f
n
,ϕ) =
Z
+∞
0
ϕ(x) − ϕ(−x)
x
dx ∀ϕ ∈ D.
А так как
Z
+∞
0
ϕ(x) − ϕ(−x)
x
dx =
P
1
x
,ϕ
,
то
lim
n→∞
(f
n
,ϕ) =
P
1
x
,ϕ
∀ϕ ∈ D.
Таким образом,
f
n
(x) → P
1
x
,ϕ в D
0
при n → ∞.
Заметим, что f
n
(x) →
1
x
при n → ∞ для любого x 6= 0. По-
этому иногда говорят, что последовательность функций f
n
(x)
                § 6. Обобщённые функции                 113


является линейным и непрерывным на D, т.е. f ∈ D0 .
   Доказательство этой теоремы можно найти, например, в
книге В.С. Владимирова «Обобщённые функции в математи-
ческой физике».
   Предельный переход в D0 можно использовать для постро-
ения новых обобщённых функций.
   Пример 3. Рассмотрим последовательность функций
                      1
                       , если |x| > 1 ,
                        x             n
             fn (x) =                 1
                       0, если |x| 6 n .

   Каждая функция fn (x) порождает обобщённую функцию:
                 Z 1/n             Z +∞
                       1                 1
       (fn ,ϕ) =         ϕ(x) dx +         ϕ(x) dx =
                  −∞ x              −1/n x
                 Z +∞
                       ϕ(x) − ϕ(−x)
               =                     dx, ϕ ∈ D,
                  1/n         x
где под интегралом стоит ограниченная функция. Следова-
тельно,
                       Z +∞
                              ϕ(x) − ϕ(−x)
         lim (fn ,ϕ) =                     dx ∀ϕ ∈ D.
        n→∞              0          x
А так как
              Z +∞                            
                     ϕ(x) − ϕ(−x)           1
                                   dx = P ,ϕ ,
               0            x              x
то                                   
                                 1
                lim (fn ,ϕ) = P ,ϕ       ∀ϕ ∈ D.
               n→∞               x
   Таким образом,
                           1
               fn (x) → P ,ϕ в D0 при n → ∞.
                           x
                        1
   Заметим, что fn (x) → x при n → ∞ для любого x 6= 0. По-
этому иногда говорят, что последовательность функций fn (x)

Страницы