Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 115 стр.

                 § 6. Обобщённые функции                          115

   Действительно, для любой функции ϕ ∈ D
    ((αf + βg)0 ,ϕ) = −(αf + βg,ϕ0 ) = −α(β,ϕ0 ) − β(g,ϕ0 ) =
                    = α(f 0 ,ϕ) + β(g 0 ,ϕ) = (αf 0 + βg 0 ,ϕ),
   что и доказывает равенство (2).
2. Операция дифференцирования является непрерывным опе-
   ратором, т.е. если fk → f в D0 , то и fk0 → f 0 в D0 при
   k → ∞.
   Действительно, для любой функции ϕ ∈ D
              (fk0 ,ϕ) = −(fk ,ϕ0 ) → −(f,ϕ0 ) = (f 0 ,ϕ)
   при k → ∞, что и доказывает наше утверждение.
3. Если f ∈ D0 , а ψ ∈ C ∞ , то
                         (ψf )0 = ψ 0 f + ψf 0 .                  (3)
   Действительно, для любой функции ϕ ∈ D
      ((ψf )0 ,ϕ) = −(ψf,ϕ0 ) = −(f,ψϕ0 ) =
                = −(f,(ψϕ)0 −ψ 0 ϕ) = −(f,(ψϕ)0 )+(f,ψ 0 ϕ) =
                = (f 0 ,ψϕ) + (ψ 0 f,ϕ) = (ψf 0 + ψ 0 f,ϕ),
   что и доказывает равенство (3).
   Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование об-
общённых функций.
   Пример 1. Найдём производную функции Хевисайда
                      
                        0, если x < 0,
               θ(x) =
                        1, если x > 0.
   Согласно определению производной,
                   (θ0 ,ϕ) = −(θ,ϕ0 ),   ϕ ∈ D.
А так как функция θ(x) локально интегрируема, то
                       Z +∞
                  0
              (θ,ϕ ) =      ϕ0 (x) dx = −ϕ(0).
                          0