Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 117 стр.

      § 7. Преобразование Фурье обобщённых функций       117


нако S 6= D. Например, функция ϕ(x) = exp(−x2 ) принадле-
жит S, но не принадлежит D.
   Введём в S понятие сходимости.
   Определение 1. Последовательность функций ϕ(x) ∈ S
называется сходящейся в S к функции ϕ(x) ∈ S, если для лю-
бых целых неотрицательных k и m выполняется условие:
             lim sup |xm (ϕ(k)      (k)
                           n (x) − ϕ (x))| = 0,
             n→∞ x∈R
                             (k)
т.е. для любых k и m xm ϕn (x) при n → ∞ сходится к
xm ϕ(k) (x) равномерно по x на R.
    Последовательность функций из S называется сходящейся
в S, если она в S сходится к некоторой функции из S.
    Очевидно, если последовательность функций ϕn (x) ∈ D в
D сходится к функции ϕ(x), то ϕn (x) → ϕ(x) и в S.
   Определение 2. Линейное пространство S с введённой
сходимостью называется пространством S основных функ-
ций.
   Легко видеть, что множество S 0 всех линейных непрерыв-
ных функционалов на S является линейным пространством от-
носительно естественных операций сложения двух функциона-
лов и умножения функционала на число. Как обычно, в S 0 вво-
дится поточечная (или слабая) сходимость. Именно, говорят,
что fn → f в S 0 при n → ∞, если
                 lim (fn ,ϕ) = (f,ϕ) ∀ϕ ∈ S.
                n→∞

   Определение 3. Линейное пространство S 0 линейных не-
прерывных функционалов на S называется пространством S 0
обобщнных функций.
   В S 0 аналогом регулярных обобщённых функций являются
функции, которые задаются формулами вида
                        Z
                (f,ϕ) =   f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ S,       (1)
                       R