Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 118 стр.

118     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


где f (x) — локально интегрируемая функция, удовлетворяю-
щая условию:
              ∃k :   f (x) = O(xk ) при x → ±∞.            (2)
Любая такая функция называется функцией медленного роста,
поэтому обобщённые функции из S 0 тоже называют обобщн-
ными функциями медленного роста.
   Лемма. Любая функция f (x), x ∈ R, медленного роста по
формуле (1) порождает обобщённую функцию из S 0 .
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любой функции ϕ ∈ S инте-
грал (1) сходится, так как при x → ±∞ функция f (x) может
возрастать лишь как некоторая степень x, а любая функция
ϕ ∈ S убывает быстрее любой степени 1/x. Линейность функ-
ционала (1) очевидна, докажем его непрерывность. Для этого
достаточно показать, что он непрерывен в нуле.
    Пусть функция f (x) удовлетворяет условию (2), и пусть
ϕn (x) → 0 в S при n → ∞. Положим
              kϕn kk+2 = sup(1 + |x|k+2 )|ϕn (x)|.
                           x
Тогда kϕn kk+2 → 0 при n → ∞, и
                                |f (x)|
                           Z
               Jk+2 (f ) =           k+2
                                         dx < +∞.
                            R 1 + |x|
А так как
                  |(f,ϕn )| 6 kϕn kk+2 Jk+2 (f ),
то (f,ϕn ) → 0 при n → ∞.
   Лемма доказана.
   В S 0 , кроме функционалов, порождаемых функциями ме-
дленного роста, есть и другие линейные непрерывные функ-
ционалы. Например, легко видеть, что любая абсолютно ин-
тегрируемая на R функция f (x) по формуле порождает обоб-
щённую функцию из S 0 . Функцией из S 0 будет и δ-функция:
                     (δ,ϕ) = ϕ(0),   ϕ ∈ S.