Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

120 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
В главе 15 (см. п. 4.6) было доказано, что если ϕ ∈ S, то ˆϕ ∈ S
и ˜ϕ ∈ S, причём справедливы формулы обращения
F
−1
[F [ϕ]] = F [F
−1
[ϕ]] = ϕ ∀ϕ ∈ S.
Из них сразу следует, что преобразования Фурье взаимно од-
нозначно отображают S на S.
Докажем, что преобразования Фурье являются линейными
непрерывными отображениями S на S.
Линейность очевидна. А для доказательства непрерывно-
сти на S достаточно показать, что они непрерывны в нуле.
Пусть ϕ
n
(x) → 0 в S при n → ∞. Тогда
|ξ
k
ˆϕ
(l)
n
(ξ)| = |ξ
k
F [x
l
ϕ
n
(x)]| = |F [(x
l
ϕ
n
(x))
(k)
]|
6
1
√
2π
Z
+∞
−∞
|(x
l
ϕ
n
(x))
(k)
|dx 6
6
1
√
2π
sup
x
(1 + x
2
)|(x
l
ϕ
n
(x))
(k)
|
Z
+∞
−∞
dx
1 + x
2
=
=
r
π
2
sup
x
(1 + x
2
)|(x
l
ϕ
n
(x))
(k)
| → 0
при n → ∞, и поэтому
lim
n→∞
sup
ξ
|ξ
k
ˆϕ
(l)
n
(ξ)| = 0
для любых целых неотрицательных k и l. Следовательно,
ˆϕ
n
→ 0 в S при n → ∞.
Аналогично доказывается, что ˜ϕ
n
→ 0 в S при n → ∞.
7.3. Преобразовани е Фурье обобщённых функций
медленного роста
Можно показать, что если функция f непрерывна и абсо-
лютно интегрируема на R, то для любой функции ϕ ∈ S
Z
R
Z
R
f(x)e
−ixξ
dx
ϕ(ξ) dξ =
Z
R
f(x)
Z
R
ϕ(ξ)e
−ixξ
dξ
dx,
120       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


В главе 15 (см. п. 4.6) было доказано, что если ϕ ∈ S, то ϕ̂ ∈ S
и ϕ̃ ∈ S, причём справедливы формулы обращения
              F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]] = ϕ   ∀ϕ ∈ S.
Из них сразу следует, что преобразования Фурье взаимно од-
нозначно отображают S на S.
   Докажем, что преобразования Фурье являются линейными
непрерывными отображениями S на S.
   Линейность очевидна. А для доказательства непрерывно-
сти на S достаточно показать, что они непрерывны в нуле.
   Пусть ϕn (x) → 0 в S при n → ∞. Тогда
  |ξ k ϕ̂(l)        k    l                 l         (k)
         n (ξ)| = |ξ F [x ϕn (x)]| = |F [(x ϕn (x)) ]|
                        Z +∞
                    1
                6 √           |(xl ϕn (x))(k) | dx 6
                    2π −∞
                                                      Z +∞
                    1                                       dx
                6 √ sup(1 + x2 )|(xl ϕn (x))(k) |              2
                                                                 =
                    2π x                               −∞ 1 + x
                  r
                     π
                =      sup(1 + x2 )|(xl ϕn (x))(k) | → 0
                     2 x
при n → ∞, и поэтому
                       lim sup |ξ k ϕ̂(l)
                                      n (ξ)| = 0
                      n→∞    ξ

для любых целых неотрицательных k и l. Следовательно,
ϕ̂n → 0 в S при n → ∞.
    Аналогично доказывается, что ϕ̃n → 0 в S при n → ∞.
7.3. Преобразование Фурье обобщённых функций
     медленного роста
   Можно показать, что если функция f непрерывна и абсо-
лютно интегрируема на R, то для любой функции ϕ ∈ S
  Z Z                        Z      Z             
              −ixξ                            −ixξ
        f (x)e     dx ϕ(ξ) dξ = f (x)    ϕ(ξ)e     dξ dx,
      R   R                          R             R

Страницы