Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

122 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
По определению,
(F [θ],ϕ) = (θ,F [ϕ]) =
1
√
2π
Z
+∞
0
dx
Z
R
ϕ(ξ)e
−iξx
dξ.
Следовательно,
(F [θ],ϕ)
1
√
2π
lim
η→+∞
Z
η
0
dx
Z
R
ϕ(ξ)e
−iξx
dξ.
В последнем интеграле переставим порядок интегрирования и
проинтегрируем по x. Тогда
(F [θ],ϕ)
1
√
2π
lim
η→+∞
Z
R
ϕ(ξ)
1 − e
−iξx
iξ
dξ.
Очевидно, последний интеграл по R равен сумме
Z
+∞
0
ϕ(ξ)
1 − e
−iξη
iξ
dξ +
Z
+∞
0
ϕ(−ξ)
1 − e
iξη
−iξ
dξ,
поэтому
(F [θ],ϕ) = −
i
√
2π
Z
+∞
0
ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)
ξ
dξ+
+
1
√
2π
lim
η→+∞
Z
+∞
0
ϕ(−ξ)
iξ
e
iξη
−
ϕ(ξ)
iξ
e
−iξη
dξ.
Из теоремы Римана об осцилляции следует, что
lim
η→+∞
Z
+∞
1
ϕ(±ξ)
iξ
e
±iξη
dξ = 0,
lim
η→+∞
Z
1
0
ϕ(±ξ) − ϕ(0)
iξ
e
±iξη
dξ = 0,
Следовательно,
(F [θ],ϕ) = −
i
√
2π
Z
+∞
0
ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)
ξ
dξ +
+
1
√
2π
lim
η→+∞
ϕ(0)
Z
1
0
2 sin ηξ
ξ
dξ
=
= −
i
√
2π
Z
+∞
0
ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)
ξ
dξ +
π
√
2π
ϕ(0).
122        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

      По определению,
                                            Z +∞ Z
                                        1
        (F [θ],ϕ) = (θ,F [ϕ]) = √                    dx ϕ(ξ)e−iξx dξ.
                                        2π 0               R
Следовательно,
                                         Z η Z
                            1
              (F [θ],ϕ) √         lim        dx ϕ(ξ)e−iξx dξ.
                             2π  η→+∞     0        R
В последнем интеграле переставим порядок интегрирования и
проинтегрируем по x. Тогда
                                                    1 − e−iξx
                                          Z
                              1
               (F [θ],ϕ) √          lim      ϕ(ξ)                dξ.
                              2π η→+∞ R                  iξ
Очевидно, последний интеграл по R равен сумме
                        1 − e−iξη
          Z +∞                             Z +∞
                                                             1 − eiξη
                 ϕ(ξ)                dξ +          ϕ(−ξ)               dξ,
            0                iξ             0                  −iξ
поэтому
                       Z +∞
                  i             ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)
(F [θ],ϕ) = − √                                  dξ+
                  2π 0                 ξ
                                      Z +∞                                
                         1                       ϕ(−ξ) iξη ϕ(ξ) −iξη
                     +√         lim                       e −           e    dξ.
                          2π η→+∞ 0                 iξ              iξ
    Из теоремы Римана об осцилляции следует, что
                              Z +∞
                                      ϕ(±ξ) ±iξη
                       lim                    e       dξ = 0,
                      η→+∞ 1             iξ
                          Z 1
                                ϕ(±ξ) − ϕ(0) ±iξη
                    lim                           e      dξ = 0,
                 η→+∞ 0                iξ
Следовательно,
                                Z +∞
                           i           ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)
       (F [θ],ϕ) = − √                                     dξ +
                           2π 0                ξ
                                               Z 1               
                          1                           2 sin ηξ
                      +√         lim ϕ(0)                       dξ =
                           2π η→+∞               0        ξ
                                Z +∞
                           i           ϕ(ξ) − ϕ(−ξ)                π
                 = −√                                      dξ + √ ϕ(0).
                           2π 0                ξ                   2π

Страницы