Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 124 стр.

124        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Аналогично доказывается, что
                            F [F −1 [f ]] = f.
      Теорема 1 доказана.
    Пример 3.      Найдём преобразования Фурье функции
f (x) = 1.
    В примере 1 было получено, что
                  √                √
              1 = 2πF [δ],     1 = 2πF −1 [δ].
Отсюда по формулам обращения получаем:
                        √            √
              F −1 [1] = 2πδ, F [1] = 2πδ.
   Теорема 2. Преобразования Фурье являются линейными
непрерывными операторами, отображающими S 0 на S 0 .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых функций f и g из S 0 и
любых чисел α и β
           (F [αf + βg],ϕ) = (αf + βg,F [ϕ]) =
                             = α(f,F [ϕ]) + β(g,F [ϕ]) =
                             = α(F [f ],ϕ) + β(F [g],ϕ) =
                             = (αF [f ] + βF [g],ϕ),   ϕ ∈ S.
Следовательно,
                    F [αf + βg] = αF [f ] + βF [g].
   Линейность оператора F на S 0 доказана. Докажем его не-
прерывность.
   Пусть fn → f в S 0 . Тогда
            (F [fn ],ϕ) = (fn ,F [ϕ]) → (f,F [ϕ]) = (F [f ],ϕ)
при n → ∞ для любой функции ϕ ∈ S. Следовательно,
                   F [fn ] → F [f ] в S 0 при n → ∞.
    Аналогично доказывается, что обратное преобразование
Фурье тоже является линейным непрерывным оператором из
S0 в S0.