Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 123 стр.

       § 7. Преобразование Фурье обобщённых функций          123

   Таким образом,
                                            r
                           i  1                   π
                F [θ] = − √ P +                     δ(ξ).
                           2π ξ                   2
Аналогично доказывается, что
                                             r
                      −1          i  1            π
                  F        [θ] = √ P +              δ(ξ).
                                  2π ξ            2

    Теорема 1. Для любой обобщённой функции f ∈ S 0 функ-
ционалы fˆ и f˜ являются линейными и непрерывными на S, т.е.
fˆ ∈ S 0 и f˜ ∈ S 0 . Кроме того, справедливы формулы обращения:
                   F −1 [F [f ]] = F [F −1 [f ]] = f.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых функций ϕ и ψ из S и
любых чисел α и β имеем:
      (fˆ,αϕ + βψ) = (f,αϕ̂ + βψ) =
                = α(f,ϕ̂) + β(f,ψ̂) = α(fˆ,ϕ) + β(fˆ,ψ).
Линейность функционала fˆ доказана. Докажем непрерыв-
ность.
   Пусть ϕn → ϕ в S при n → ∞. Тогда, как доказано в
предыдущем пункте, и ϕ̂n → ϕ̂ в S при n → ∞. Следовательно,
                   (f,ϕ̂n ) → (f,ϕ̂) при n → ∞,
и поэтому
                           lim (fˆ,ϕn ) = (fˆ,ϕ).
                         n→∞
   Таким образом,     fˆ ∈ S 0 .
                        Аналогично доказывается, что f˜ ∈
∈S.0

   Формулы обращения для функции f ∈ S 0 следуют из фор-
мул обращения для функций из S. Действительно,
             (F −1 [F [f ]],ϕ) = (F [f ],F −1 [ϕ]) = (f,ϕ)
для любой функции ϕ ∈ S. Следовательно,
                             F −1 [F [f ]] = f.