Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§7. Преобразование Фурье обобщённых функций 125
Из формул обращения следует, что операторы F и F
−1
ото-
бражают S
0
на S
0
. Действительно, любой элемент f ∈ S
0
явля-
ется образом элемента
˜
f ∈ S
0
при отображении F и образом
элемента
ˆ
f ∈ S
0
при отображении F
−1
.
Теорема 2 доказана.
Получим формулы для преобразования Фурье от производ-
ной.
Для любой функции ϕ(ξ) ∈ S имеем:
(F [f
(k)
],ϕ) = (f
(k)
,F [ϕ]) = (−1)
k
f,
d
k
dx
k
F [ϕ]
=
= (f,F [(iξ)
k
ϕ(ξ)]) = (F [f],(iξ)
k
ϕ(ξ)).
Таким образом,
F [f
(k)
] = (iξ)
k
ˆ
f(ξ).
Аналогично доказывается формула
F
−1
[f
(k)
] = (−iξ)
k
˜
f(ξ).
В заключение получим формулы для производной от пре-
образования Фурье.
Для любой функции ϕ(ξ) ∈ S имеем:
d
k
dξ
k
ˆ
f(ξ),ϕ(ξ)
= (−1)
k
(
ˆ
f(ξ),ϕ
(k)
(ξ)) =
= (−1)
k
(f(x),F [ϕ
(k)
(ξ)]) =
= (−1)
k
(f(x),(ix)
k
F [ϕ]) =
= (F [(−ix)
k
f(x)],ϕ(ξ)).
Следовательно,
d
k
dξ
k
ˆ
f(ξ) = F [(−ix)
k
f(x)].
Аналогично доказывается, что
d
k
dξ
k
˜
f(ξ) = F
−1
[(ix)
k
f(x)].
       § 7. Преобразование Фурье обобщённых функций             125


   Из формул обращения следует, что операторы F и F −1 ото-
бражают S 0 на S 0 . Действительно, любой элемент f ∈ S 0 явля-
ется образом элемента f˜ ∈ S 0 при отображении F и образом
элемента fˆ ∈ S 0 при отображении F −1 .
   Теорема 2 доказана.
   Получим формулы для преобразования Фурье от производ-
ной.
   Для любой функции ϕ(ξ) ∈ S имеем:
                                            dk
                                                  
            (k)         (k)           k
       (F [f ],ϕ) = (f ,F [ϕ]) = (−1) f, k F [ϕ] =
                                           dx
                  = (f,F [(iξ)k ϕ(ξ)]) = (F [f ],(iξ)k ϕ(ξ)).
Таким образом,
                   F [f (k) ] = (iξ)k fˆ(ξ).
   Аналогично доказывается формула
                 F −1 [f (k) ] = (−iξ)k f˜(ξ).
   В заключение получим формулы для производной от пре-
образования Фурье.
   Для любой функции ϕ(ξ) ∈ S имеем:
          k             
           d ˆ
               f (ξ),ϕ(ξ) = (−1)k (fˆ(ξ),ϕ(k) (ξ)) =
          dξ k
                            = (−1)k (f (x),F [ϕ(k) (ξ)]) =
                            = (−1)k (f (x),(ix)k F [ϕ]) =
                            = (F [(−ix)k f (x)],ϕ(ξ)).
Следовательно,
                    dk ˆ
                         f (ξ) = F [(−ix)k f (x)].
                    dξ k
   Аналогично доказывается, что
                   dk ˜
                        f (ξ) = F −1 [(ix)k f (x)].
                   dξ k

Страницы