Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 121 стр.

       § 7. Преобразование Фурье обобщённых функций          121

и, следовательно,
               Z                        Z
                       fˆ(ξ)ϕ(ξ) dξ =       f (x)ϕ̂(x) dx.
                   R                    R
Это равенство делает естественным следующее определение.
   Определение 1. Для любой обобщённой функции f ∈ S 0
функционал fˆ такой, что
                   (fˆ,ϕ) = (f,ϕ̂) ∀ϕ ∈ S,
называется преобразованием Фурье или образом Фурье функ-
ции f , а оператор F [f ] = fˆ — преобразованием Фурье.
   Таким образом, по определению,
               (F [f ],ϕ) = (f,F [ϕ]) ∀ϕ ∈ S.
   Аналогично, функционал f˜ такой, что
                   (f˜,ϕ) = (f,ϕ̃) ∀ϕ ∈ S,
называется обратным преобразованием Фурье или прообразом
Фурье функции f , а оператор F −1 [f ] = f˜ — обратным преобра-
зованием Фурье.
   Пример 1. Найдём образ и прообраз Фурье
δ-функции.
   По определению,
                         (δ̂,ϕ) = (δ,ϕ̂) = ϕ̂(0),
                         (δ̃,ϕ) = (δ,ϕ̃) = ϕ̃(0).
А так как                       Z
                          1                  1
                 ϕ̂(0) = √        ϕ(x) dx = √ (1,ϕ)
                           2π   R            2π
           1
и ϕ̃(0) = √ (1,ϕ), то
            2π
                                             1
                         F [δ] = F −1 [δ] = √ .
                                             2π
   Пример 2. Найдём преобразование Фурье функции θ(x).