Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 119 стр.

      § 7. Преобразование Фурье обобщённых функций        119

   Для обобщённых функций медленного роста можно опреде-
лить операцию умножения на многочлен.
   Для любой функции f ∈ S 0 и любого многочлена p(x) произ-
ведение pf определим как функционал, заданный равенством
                  (pf,ϕ) = (f,pϕ) ∀ϕ ∈ S.
   Очевидно, что так определённый функционал pf является
линейным и непрерывным на S.
   Для обобщённых функций из S 0 производная определяется
так же, как и для функций из D0 . Именно, производная f 0
функции f определяется по формуле
                  (f 0 ,ϕ) = −(f,ϕ0 ), ϕ ∈ S.
   Легко доказывается, что
1) производная любой обобщённой функции из S 0 является об-
   общённой функцией из S 0 , и, следовательно, любая функция
   f ∈ S 0 имеет производные любого порядка;
2) операция дифференцирования линейна, т.е. для любых об-
   общённых функций f и g и любых чисел α и β
                    (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 ;
3) операция дифференцирования непрерывна, т.е. если fn → f
   в S 0 , то и fn0 → f в S 0 при n → ∞;
4) для любой функции f ∈ S 0 и любого многочлена p(x)
                        (pf )0 = p0 f + pf 0 .
7.2. Преобразование Фурье в пространстве S
     быстро убывающих функций
   Для любой функции ϕ ∈ S определены прямое и обратное
преобразования Фурье:
                             Z
                         1
                ϕ̂(ξ) = √       ϕ(x)e−ixξ dx,
                          2π ZR
                         1
                ϕ̃(ξ) = √       ϕ(x)eixξ dx.
                          2π R