Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 116 стр.

116        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


Следовательно, (θ0 ,ϕ) = ϕ(0), и поэтому
                           θ0 (x) = δ(x).

      Пример 2. Найдём производную функции f (x) = xθ(x).
      Дифференцируя f как произведение, находим:
                     (xθ(x)) = θ(x) + xθ0 (x).
А так как θ0 (x) = δ(x) и xδ(x) = 0, то
                          (xθ(x)) = θ(x).

      Пример 3. xδ 0 (x) = −δ(x).
      Действительно,
                   xδ 0 (x) + δ(x) = (xδ(x))0 = 0,
так как xδ(x) = 0.
   Пример 4. Функция y = θ(x)e−λx удовлетворяет уравне-
нию y 0 + λy = δ(x).
   Действительно,
              y 0 = e−λx δ(x) − λθ(x)e−λx = δ(x) − λy.


 § 7. Преобразование Фурье обобщённых функций
7.1. Пространство S основных функций и пространство S 0
     обобщённых функций
   Линейное пространство S было введено в главе 15 в п. 4.6.
Напомним, что элементами этого пространства являются бес-
конечно дифференцируемые на R комплекснозначные функции,
каждая из которых удовлетворяет условию: как она сама, так
и её производные любого порядка при x → ±∞ стремятся к
нулю быстрее любой степени 1/x. Такие функции называются
быстро убывающими.
   Очевидно, любая бесконечно дифференцируемая финитная
функция является элементом пространства S, т.е. D ⊂ S. Од-