Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 114 стр.

114     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

                                    1
в D0 сходится к функции f (x) = x , и пишут
                         1
                 fn (x) → в D0 при n → ∞.
                         x
                          1                               1
Обобщённую функцию P x тоже иногда обозначают просто x .

6.7. Дифференцирование обобщённых функций
   Хорошо известно, что если функция f определена и непре-
рывно дифференцируема на R, то
             Z                 Z
      0
    (f ,ϕ) =   f (x)ϕ(x) dx = − f (x)ϕ0 (x) dx = −(f,ϕ0 )
                0
             R                       R
для любой функции ϕ ∈ D.
   Легко видеть, что для любой обобщённой функции f ∈ D0
функционал f 0 , определённый равенством
                  (f 0 ,ϕ) = −(f,ϕ0 ) ∀ϕ ∈ D,            (1)
является линейным и непрерывным на D, т.е. формула (1)
определяет обобщённую функцию f 0 .
   Определение 1. Для любой обобщённой функции f обоб-
щённая функция f 0 , определённая равенством (1), называется
производной функции f .
   Производная f 0 называется производной первого порядка.
Производная n-го порядка f (n) определяется равенством:
              (f (n) ,ϕ) = (−1)n (f,ϕ(n) ),   ϕ ∈ D.
    Таким образом, обобщнные функции имеют производные
любого порядка.
    Справедливы следующие свойства операции дифференци-
рования обобщённых функций.
 1. Операция дифференцирования линейна, т.е. для любых об-
    общённых функций f и g и любых чисел α и β
                      (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 .         (2)