Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 110 стр.

110     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

нулевым множеством функции f , а его дополнение до R назы-
вается носителем функции f и обозначается supp f .
   Нулевое множество любой обобщённой функции является
открытым (в частности, оно может быть пустым), а носитель
является замкнутым множеством. Например, нулевое множе-
ство δ-функции — это объединение интервалов (−∞; 0) и (0; +
+∞), а носитель δ-функции состоит из одной точки x = 0.
   Очевидно, что если регулярная обобщённая функция поро-
ждается непрерывной на R функцией f , то её носитель совпа-
дает с носителем функции f .
   Как и для обычных функций, обобщённая функция называ-
ется финитной, если она имеет ограниченный носитель. Сле-
довательно, δ-функция является финитной.
6.6. Пространство D 0 обобщённых функций
   В линейном пространстве D0 обобщённых функций на D
введём так называемую поточечную сходимость.
   Определение 1. Говорят, что последовательность
обобщённых функций fn , n ∈ N, сходится к обобщнной
функции f , если
                 lim (fn ,ϕ) = (f,ϕ) ∀ϕ ∈ D.
                n→∞
   Последовательность обобщённых функций называется схо-
дящейся, если существует обобщённая функция, к которой эта
последовательность сходится.
   Введённая сходимость называется ещё слабой сходимо-
стью.
   Определение 2. Линейное пространство линейных непре-
рывных функционалов на D, в котором введена слабая (пото-
чечная) сходимость, называется пространством, сопряжнным
к пространству D, и обозначается D0 .
   Пространство D0 называют ещё пространством обобщн-
ных функций. При этом если последовательность {fn } сходится