Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

108 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Возникает вопрос: нельзя ли определить умножение любых
обобщённых функций? Оно должно быть ассоциативным, ком-
мутативным и совпадать с определённым выше умножением на
бесконечно дифференцируемую функцию. Известно, что такое
умножение определить нельзя. Чтобы это показать, рассмо-
трим ещё одну важную обобщённую функцию, обозначаемую
P
1
x
и называемую конечной частью или главным значением
интеграла от функции
1
x
.
Пример 2. Через P
1
x
обозначим функционал, который на
ϕ ∈ D действует по формуле
P
1
x
,ϕ(x)
=
Z
+∞
0
ϕ(x) − ϕ(−x)
x
dx.
Этот функционал принимает конечное значение на любой
ϕ ∈ D. Его линейность очевидна. Для доказательства его
непрерывности заметим, что
Z
+∞
0
ϕ(x) − ϕ(−x)
x
dx = −
Z
+∞
0
(ϕ
0
(x) + ϕ
0
(−x)) ln x dx,
и поэтому
P
1
x
,ϕ(x)
= −
Z
+∞
−∞
ϕ
0
(x) ln |x|dx.
Пусть ϕ
k
→ ϕ в D при k → ∞. Тогда, согласно определе-
нию сходимости в D, существует отрезок [a; b] такой, что вне
[a; b] функции ψ
k
= ϕ
k
− ϕ равны нулю. Следовательно,
P
1
x
,ψ
k
=
Z
b
a
ψ
0
k
(x) ln |x|dx,
P
1
x
,ψ
k
6 sup
x∈R
|ψ
0
k
(x)| ·
Z
b
a
ln |x|
dx → 0
при k → ∞.
108     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Возникает вопрос: нельзя ли определить умножение любых
обобщённых функций? Оно должно быть ассоциативным, ком-
мутативным и совпадать с определённым выше умножением на
бесконечно дифференцируемую функцию. Известно, что такое
умножение определить нельзя. Чтобы это показать, рассмо-
трим ещё одну важную обобщённую функцию, обозначаемую
  1
P x и называемую конечной частью или главным значением
                       1
интеграла от функции x .
                        1
   Пример 2. Через P x обозначим функционал, который на
ϕ ∈ D действует по формуле
                     Z +∞
              1              ϕ(x) − ϕ(−x)
             P ,ϕ(x) =                    dx.
              x           0        x
   Этот функционал принимает конечное значение на любой
ϕ ∈ D. Его линейность очевидна. Для доказательства его
непрерывности заметим, что
   Z +∞                     Z +∞
        ϕ(x) − ϕ(−x)
                     dx = −      (ϕ0 (x) + ϕ0 (−x)) ln x dx,
     0        x              0
и поэтому
                         Z +∞
                1
              P ,ϕ(x) = −        ϕ0 (x) ln |x| dx.
               x             −∞

     Пусть ϕk → ϕ в D при k → ∞. Тогда, согласно определе-
нию сходимости в D, существует отрезок [a; b] такой, что вне
[a; b] функции ψk = ϕk − ϕ равны нулю. Следовательно,
                      Z b
                1
              P ,ψk =       ψk0 (x) ln |x| dx,
                x         a
                                      Z b
               1
             P ,ψk    6 sup |ψk0 (x)| ·     ln |x| dx → 0
               x        x∈R              a

при k → ∞.

Страницы