Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 102 стр.

102        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

носительно введнной сходимости. Точнее, имеет место следу-
ющее утверждение.
      Лемма 1. Пусть {ϕk } — последовательность функций из
◦
C ∞ . Тогда если
1) ∃[a; b] : supp ϕk ⊂ [a; b] ∀ k;
                                                    (l)
2) для любого l = 0,1,2, . . . последовательность {ϕk } фунда-
   ментальна по норме C(R),
                                  ◦
      то существует функция ϕ ∈ C ∞ такая, что
                     ϕk → ϕ     в D при k → ∞.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть фундамен-
тальные последовательности {ϕk } и {ϕ0k } по норме C(R) схо-
дятся к некоторым функциям ϕ и ψ. Тогда из равенства
                                      Z x
                    ϕk (x) = ϕk (0) +     ϕ0k (t) dt
                                          0
в пределе при k → ∞ получаем равенство
                                Z x
                  ϕ(x) = ϕ(0) +     ψ(t) dt,
                                      0
из которого следует, что функция ϕ(x) дифференцируема и
ϕ0 (x) = ψ(x). Аналогично доказывается, что функция ϕ0 (x)
тоже дифференцируема и ϕ00 (x) = lim ϕ00k (x). Поступая так
                                              k→∞
и далее, получаем, что ϕ(x) бесконечно дифференцируема и
ϕk → ϕ в D при k → ∞.
                                               ◦
   Очевидно, линейные операции в C ∞ непрерывны относи-
тельно введённой сходимости, т.е. если ϕk → ϕ и ψk → ψ в D
при k → ∞, то
              αϕk + βψk → αϕ + βψ в D при k → ∞
для любых чисел α и β. Кроме того, если λ(x) — бесконечно
дифференцируемая на R функция, то
                    λϕk → λϕ в D при k → ∞.