Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 94 стр.

94       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

5.6. Ортогональные проекции
   Пусть L — некоторое линейное подпространство евклидова
пространства E.
   Определение 1. Элемент y0 ∈ L называется ортогональ-
ной проекцией элемента x0 ∈ E в подпространство L, если
                     (x0 − y0 ,y) = 0    ∀ y ∈ L.                  (1)
    Очевидно, любой элемент x ∈ E может иметь только
одну проекцию на данное подпространство L. Действительно,
пусть
              (x − y1 ,y) = 0, (x − y2 ,y) = 0 ∀ y.
Тогда
           ky1 − y2 k2 = (y1 − y2 ,y1 − x + x − y2 ) = 0
и, следовательно, y1 = y2 .
   Теорема 1. Для того чтобы элемент y0 ∈ L был орто-
гональной проекцией элемента x0 ∈ E в подпространство L,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
                     kx0 − y0 k = inf kx0 − yk.                    (2)
                                   y∈L

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Если y0 удовлетворяет условию
(1), то, очевидно,
     kx0 − yk2 = ((x0 − y0 ) + (y0 − y),(x0 − y0 ) + (y0 − y)) =
               = kx0 − y0 k2 + ky0 − yk2
для любого y ∈ L, и поэтому выполняется условие (2).
   Пусть теперь выполняется условие (2). Рассмотрим число-
вую функцию
                  f (t) = kx0 − y0 + tyk2 , t ∈ R,
где y — произвольный элемент подпространства L.
   Если пространство E действительное, то
            f (t) = kx0 − y0 k2 + 2t(x0 − y0 ,y) + t2 kyk2 .