Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

92 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Теорема 1. Во всяком сепарабельном евклидовом про-
странстве E существует ортонормированный базис.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку пространство E сепара-
бельное, то в нём существует полная линейно независимая си-
стема, состоящая из счётного числа элементов:
x
1
,x
2
, . . . ,x
n
, . . .
Из этой системы процессом ортогонализации получим ортонор-
мированную систему
e
1
,e
2
, . . . ,e
n
.
Очевидно, она тоже будет полной в пространстве E, и поэтому
любой элемент x ∈ E разлагается в ряд Фурье по этой системе.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Любое сепарабельное бесконечномерное гиль-
бертово пространство H изоморфно пространству l
2
числовых
последовательностей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 1, в H суще-
ствует ортонормированный базис e
1
,e
2
, . . . ,e
n
, . . . . Тогда ка-
ждому элементу x ∈ H поставим в соответствие последо-
вательнос ть {a
k
} его коэффициентов Фурье по этой системе.
Очевидно, {a
k
} ∈ l
2
.
Из теоремы 3 предыдущего пункта следует, что если {a
k
} ∈
∈ l
2
, то a
k
, k ∈ N являются коэффициентами Фурье некоторого
элемента из H.
Следовательно, между элементами пространств H и l
2
можно установить взаимно однозначное соответствие. Оче-
видно, если x ∼ {a
k
}, y ∼ {b
k
}, то x+y ∼ {a
k
+b
k
} и αx ∼ {αs
k
}
для любого числа α. Кроме того,
kxk =
∞
X
k=1
|a
k
|
2
, kyk =
∞
X
k=1
|b
k
|
2
,
92      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Теорема 1. Во всяком сепарабельном евклидовом про-
странстве E существует ортонормированный базис.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку пространство E сепара-
бельное, то в нём существует полная линейно независимая си-
стема, состоящая из счётного числа элементов:
                         x1 ,x2 , . . . ,xn , . . .
Из этой системы процессом ортогонализации получим ортонор-
мированную систему
                              e1 ,e2 , . . . ,en .
Очевидно, она тоже будет полной в пространстве E, и поэтому
любой элемент x ∈ E разлагается в ряд Фурье по этой системе.
  Теорема 1 доказана.
   Теорема 2. Любое сепарабельное бесконечномерное гиль-
бертово пространство H изоморфно пространству l2 числовых
последовательностей.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 1, в H суще-
ствует ортонормированный базис e1 ,e2 , . . . ,en , . . . . Тогда ка-
ждому элементу x ∈ H поставим в соответствие последо-
вательность {ak } его коэффициентов Фурье по этой системе.
Очевидно, {ak } ∈ l2 .
    Из теоремы 3 предыдущего пункта следует, что если {ak } ∈
∈ l2 , то ak , k ∈ N являются коэффициентами Фурье некоторого
элемента из H.
    Следовательно, между элементами пространств H и l2
можно установить взаимно однозначное соответствие. Оче-
видно, если x ∼ {ak }, y ∼ {bk }, то x+y ∼ {ak +bk } и αx ∼ {αsk }
для любого числа α. Кроме того,
                       ∞
                       X                              ∞
                                                      X
                                 2
               kxk =         |ak | ,       kyk =            |bk |2 ,
                       k=1                            k=1

Страницы