Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Пространства со скалярным произведением 83
Очевидно, арифметическое n-мерное векторное комплекс-
ное пространство C
n
, в котором скалярное произведение век-
торов x = (x
1
, . . . ,x
n
) и y = (y
1
, . . . ,y
n
) определено по формуле
(x,y) = x
1
y
1
+ . . . + x
n
y
n
,
является эрмитовым пространством.
В частности, в множестве комплексных чисел C скалярное
произведение определяется по формуле (x,y) = xy.
Пример 1. Унитарным пространством является линей-
ное нормированное пространство l
2
последовательностей ком-
плексных чисел x = (x
1
,x
2
, . . .) и y = (y
1
,y
2
, . . .), . . . , для кото-
рых скалярное произведение определено по формуле
(x,y) =
∞
X
k=1
x
k
y
k
.
Пример 2. Линейное пространство функций f : ∆ →
→ C, определённых и непрерывных на отрезке ∆ = [a; b], в
котором скалярное произведение функций f (x) и g(x) введено
по формуле
(f,g) =
Z
∆
f(x)g(x) dx,
является унитарным. Оно обозначается CL
2
(∆).
Аналогично определяется унитарное пространство RL
2
(∆).
Пусть E — некоторое евклидово пространство (действи-
тельное или комплексное).
Определение 3. Два элемента евклидова пространства на-
зываются ортогональными, если их скалярное произведение
равно нулю.
Определение 4. Произвольная система элементов евкли-
дова пространства называется ортогональной, если любые два
её элемента ортогональны. Если, кроме того, норма каждого
её элемента равна единице, то эта система называется орто-
нормированной.
          § 5. Пространства со скалярным произведением                    83

   Очевидно, арифметическое n-мерное векторное комплекс-
ное пространство Cn , в котором скалярное произведение век-
торов x = (x1 , . . . ,xn ) и y = (y1 , . . . ,yn ) определено по формуле
                       (x,y) = x1 y1 + . . . + xn yn ,
является эрмитовым пространством.
   В частности, в множестве комплексных чисел C скалярное
произведение определяется по формуле (x,y) = xy.
   Пример 1. Унитарным пространством является линей-
ное нормированное пространство l2 последовательностей ком-
плексных чисел x = (x1 ,x2 , . . .) и y = (y1 ,y2 , . . .), . . . , для кото-
рых скалярное произведение определено по формуле
                                   X∞
                      (x,y) =          xk yk .
                                       k=1

   Пример 2. Линейное пространство функций f : ∆ →
→ C, определённых и непрерывных на отрезке ∆ = [a; b], в
котором скалярное произведение функций f (x) и g(x) введено
по формуле                Z
                  (f,g) =   f (x)g(x) dx,
                                   ∆
является унитарным. Оно обозначается CL2 (∆).
   Аналогично определяется унитарное пространство RL2 (∆).
   Пусть E — некоторое евклидово пространство (действи-
тельное или комплексное).
   Определение 3. Два элемента евклидова пространства на-
зываются ортогональными, если их скалярное произведение
равно нулю.
    Определение 4. Произвольная система элементов евкли-
дова пространства называется ортогональной, если любые два
её элемента ортогональны. Если, кроме того, норма каждого
её элемента равна единице, то эта система называется орто-
нормированной.

Страницы