Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 80 стр.

80       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

то вместо “почти скалярное произведение” всегда можно гово-
рить “скалярное произведение”. В дальнейшем мы всюду, где
не возникает разночтений, будем говорить о скалярных произ-
ведениях.
   Определение 3. Линейное пространство над полем дей-
ствительных чисел, для элементов которого определено ска-
лярное произведение, называется евклидовым пространством.
   Определение 4. Полное евклидово пространство называ-
ется гильбертовым.
   Неполное евклидово пространство иногда называют пред-
гильбертовым.
   Очевидно, арифметическое n-мерное векторное простран-
ство Rn , в котором скалярное произведение векторов x =
= (x1 , . . . ,xn ) и y = (y1 , . . . ,yn ) определено по формуле
                     (x,y) = x1 y1 + . . . + xn yn ,
является евклидовым пространством.
   Более того, это пространство полное. В частности, множе-
ство действительных чисел R является линейным простран-
ством над полем действительных чисел, и в нём обычное про-
изведение двух чисел является скалярным произведением эле-
ментов этого линейного пространства.
   Приведём ещё несколько примеров евклидовых про-
странств.
   Пример 1. Линейное нормированное пространство l2 над
полем действительных чисел, в котором скалярное произведе-
ние элементов x = (x1 ,x2 , . . .) и y = (y1 ,y2 , . . .) определено по
формуле
                                   ∞
                                   X
                      (x,y) =         xk yk ,
                                   k=1
является евклидовым пространством. Оно является полным.