Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

78 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Теорема. В линейном пространстве E, в котором введено
почти скалярное произведение, функция
kxk =
p
(x,x), x ∈ E, (5)
является полунормой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,
kxk > 0 ∀x ∈ E, kαxk = |α|kxk ∀α ∈ R.
Осталось доказать лишь неравенство треугольника:
kx + yk 6 kxk + kyk. (6)
Для этого сначала докажем так называемое неравенство
Коши–Буняковского.
Лемма. Для любых x и y из E справедливо неравенство
|(x,y)| 6 kxk · kyk. (7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,
0 6 (αx − y,αx − y) = α
2
kxk
2
− 2α(x,y) + kyk
2
для любого α ∈ R. Поэтому если kxk = 0, то (x,y) = 0, и, сле-
довательно, в этом случае неравенство (7) справедливо. Если
же kxk > 0, то, полагая α =
(x,y)
kxk
2
, получаем неравенство
0 6 −
(x,y)
2
kxk
2
+ kyk
2
,
которое равносильно неравенству (7), когда kxk 6= 0.
Лемма доказана.
Теперь неравенство (6) легко следует из неравенства (7).
Действительно,
kx + yk
2
= kxk
2
+ 2(x,y) + kyk
2
6
6 kxk
2
+ 2kxk · kyk + kyk
2
= (kxk + kyk)
2
.
Теорема доказана.
78        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Теорема. В линейном пространстве E, в котором введено
почти скалярное произведение, функция
                        p
                  kxk = (x,x), x ∈ E,                (5)
является полунормой.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,
           kxk > 0   ∀ x ∈ E, kαxk = |α| kxk     ∀ α ∈ R.
Осталось доказать лишь неравенство треугольника:
                        kx + yk 6 kxk + kyk.                   (6)
Для этого сначала докажем так называемое неравенство
Коши–Буняковского.
     Лемма. Для любых x и y из E справедливо неравенство
                         |(x,y)| 6 kxk · kyk.                  (7)

     Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,
          0 6 (αx − y,αx − y) = α2 kxk2 − 2α(x,y) + kyk2
для любого α ∈ R. Поэтому если kxk = 0, то (x,y) = 0, и, сле-
довательно, в этом случае неравенство (7) справедливо. Если
                                (x,y)
же kxk > 0, то, полагая α =           , получаем неравенство
                                kxk2
                               (x,y)2
                        06−           + kyk2 ,
                                kxk2
которое равносильно неравенству (7), когда kxk =
                                               6 0.
   Лемма доказана.
   Теперь неравенство (6) легко следует из неравенства (7).
Действительно,
       kx + yk2 = kxk2 + 2(x,y) + kyk2 6
                 6 kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .
     Теорема доказана.

Страницы