Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 76 стр.

76       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Таким образом, если оператор f дифференцируем в точке
x ∈ Df , то
              f (x + h) − f (x) = Df (x)h + o(h)
при h → 0.
   Легко доказываются следующие утверждения:
1. Если операторы f и g, действующие из X в Y , дифферен-
   цируемы в точке x, то для любых чисел λ и µ оператор
   λf + µg тоже дифференцируем в точке x и
                    D(λf + µg) = λDf + µDg.
2. Если оператор f , действующий из X в Y , дифференцируем
   в точке x, а оператор g, действующий из Y в нормирован-
   ное пространство Z, дифференцируем в точке y = f (x),
   то композиция g ◦ f , задаваемая равенством
                            z = g(f (x)),
     дифференцируема в точке x и
                       D(g ◦ f ) = Dg ◦ Df.
   Наряду с введённым понятием дифференцируемости бы-
вает полезным понятие дифференцируемости по направлению.
    Определение 3. Оператор f называется дифференцируе-
мым в точке x ∈ Df по направлению h, если существует пре-
дел
                        f (x + th) − f (x)
                    lim                    .
                   t→+0          t
Этот предел называют производной Гато по направлению h
оператора f в точке x и обозначают Dh f или Dh f (x).
    Таким образом, согласно определению,
              f (x + th) = f (x) + tDh f (x) + o(th)
при t → +0.
   Отметим, что в заданной точке x ∈ Df дифференциал
Фреше — это элемент пространства L(X; Y ), а производная
Гато — это элемент пространства Y .