Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

74 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
рассмотрим оператор проектирования y = P
n
x, который после-
довательности x ставит в соответствие последовательностям
y = {x
1
,x
2
, . . . ,x
n
,0, . . .}. Тогда
kP
n
x − xk
2
=
∞
X
k=n+1
|x
k
|
2
→ 0
при n → ∞ для любой последовательности x ∈ l
2
. Следова-
тельно, P
n
→ I при n → ∞ поточечно, где I — тождественный
оператор в l
2
. Однако эта сходимость не будет равномерной.
Действительно, если kxk = 1 и P
n
x = 0, то kP
n
x− xk = kxk = 1.
Следовательно,
kP
n
− Ik = sup
kxk61
kP
n
x − xk > 1.
для любого n ∈ N.
4.5. Дифференцируемые операторы
Пусть X и Y — линейные нормированные пространства, и
пусть f — произвольный оператор, действующий из X в Y , с
областью определения D
f
⊂ X.
Определение 1. Оператор f, определённый в некоторой
окрестности точки x ∈ D
f
, называется дифференцируемым в
точке x, если существует линейный ограниченный оператор
A : X → Y такой, что
lim
h→0
f(x + h) −f(x) − Ah
khk
= 0. (1)
Линейный ограниченный оператор A называют дифферен-
циалом Фреше оператора f в точке x и обозначают Df или,
более подробно, Df(x).
Оператор α, заданный равенством
α(h) =
f(x + h) −f(x) − Ah
khk
,
74       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

рассмотрим оператор проектирования y = Pn x, который после-
довательности x ставит в соответствие последовательностям
y = {x1 ,x2 , . . . ,xn ,0, . . .}. Тогда
                                   ∞
                                   X
                 kPn x − xk2 =           |xk |2 → 0
                                 k=n+1

при n → ∞ для любой последовательности x ∈ l2 . Следова-
тельно, Pn → I при n → ∞ поточечно, где I — тождественный
оператор в l2 . Однако эта сходимость не будет равномерной.
Действительно, если kxk = 1 и Pn x = 0, то kPn x−xk = kxk = 1.
Следовательно,
                kPn − Ik = sup kPn x − xk > 1.
                             kxk61

для любого n ∈ N.

4.5. Дифференцируемые операторы
   Пусть X и Y — линейные нормированные пространства, и
пусть f — произвольный оператор, действующий из X в Y , с
областью определения Df ⊂ X.
    Определение 1. Оператор f , определённый в некоторой
окрестности точки x ∈ Df , называется дифференцируемым в
точке x, если существует линейный ограниченный оператор
A : X → Y такой, что
                       f (x + h) − f (x) − Ah
                 lim                          = 0.         (1)
                 h→0             khk
   Линейный ограниченный оператор A называют дифферен-
циалом Фреше оператора f в точке x и обозначают Df или,
более подробно, Df (x).
     Оператор α, заданный равенством
                          f (x + h) − f (x) − Ah
                 α(h) =                          ,
                                    khk

Страницы