Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Операторы в линейных нормированных пространствах 67
и через c
n
обозначим полученное нормированное пространство.
Будем рассматривать A как оператор, действующий из c
n
в c
n
.
Из (2) следует, что
|y
i
| 6
n
X
j=1
|a
ij
| ·kxk
c
, i = 1,2, . . . ,n,
и поэтому
kyk
c
6 max
i
n
X
j=1
|a
ij
| · kxk
c
∀x ∈ R
n
.
Следовательно, оператор A : c
n
→ c
n
ограничен, причём
kAk 6 max
i
n
X
j=1
|a
ij
|. (3)
Покажем, что в действительности здесь выполняется равен-
ство.
Не ограничивая общности, будем считать, что максимум
в (3) достигается при i = 1. Тогда для x с координатами x
j
=
= sgn a
ij
выполняется равенство
kyk
c
= y
1
=
n
X
j=1
|a
ij
|.
Отсюда и из (3) следует, что
kAk = max
i
n
X
j=1
|a
ij
|.
Пример 2. Через l
n
p
, p > 1, обозначим линейное простран-
ство R
n
с нормой
kxk
p
=
n
X
j=1
|x
j
|
p
1/p
  § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах              67

и через cn обозначим полученное нормированное пространство.
Будем рассматривать A как оператор, действующий из cn в cn .
   Из (2) следует, что
                       n
                       X
             |yi | 6         |aij | · kxkc ,   i = 1,2, . . . ,n,
                       j=1
и поэтому
                               n
                               X
            kykc 6 max               |aij | · kxkc      ∀ x ∈ Rn .
                         i
                               j=1

   Следовательно, оператор A : cn → cn ограничен, причём
                                            n
                                            X
                        kAk 6 max                 |aij |.            (3)
                                       i
                                            j=1

Покажем, что в действительности здесь выполняется равен-
ство.
    Не ограничивая общности, будем считать, что максимум
в (3) достигается при i = 1. Тогда для x с координатами xj =
= sgn aij выполняется равенство
                                            n
                                            X
                        kykc = y1 =               |aij |.
                                            j=1

Отсюда и из (3) следует, что
                                            n
                                            X
                        kAk = max                 |aij |.
                                       i
                                            j=1

   Пример 2. Через lpn , p > 1, обозначим линейное простран-
ство Rn с нормой
                                       1/p
                             Xn
                 kxkp =         |xj |p 
                                      j=1

Страницы