Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 65 стр.

   § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах          65

и оператор A непрерывен в точке x = 0, то
                  x 
                     n
                A        → 0 при n → ∞.
                    n
Полученное противоречие показывает, что наше допущение не-
верное.
   Теорема 2 доказана.
   В конце этого пункта докажем теорему о продолжении ли-
нейного оператора по непрерывности.
   Пусть A — линейный оператор, у которого область опре-
деления DA плотна в пространстве X. Кроме того, будем счи-
тать, что пространство Y банахово.
   Теорема 3. Пусть A — линейный ограниченный оператор,
действующий из нормированного пространства X в банахово
пространство Y . Тогда если DA плотна в X, то существует
линейный ограниченный оператор A : x → Y такой, что Ax =
= Ax ∀ x ∈ DA и kAk = kAk.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ X, но x 6∈ DA . В силу
плотности DA в X существует последовательность элементов
xn ∈ DA таких, что xn → x при n → ∞.
   Из неравенства
                kAxn − Axm k 6 kAk · kxn − xm k
и ограниченности оператора A следует, что последователь-
ность Axn , n ∈ N, фундаментальная. А так как пространство
Y банахово, то эта последовательность имеет предел. Поло-
жим
                        Ax = lim Axn
                             n→∞
и покажем, что это определение корректное.
   Пусть x0n ∈ DA и x0n → x при n → ∞, и пусть
                 y = lim Axn ,    y 0 = lim Ax0n .
                     n→∞               n→∞
Тогда
    ky − y 0 k 6 ky − Axn k + kAxn − Ax0n k + kAx0n − y 0 k → 0