Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Операторы в линейных нормированных пространствах 63
и поэтому
∀x ∈ M kAxk = R
A
x
R
6 RC.
Следовательно, оператор A любое ограниченное множество
M ⊂ D
A
переводит в ограниченное множество пространства
Y .
Определение 1. Для любого линейного оператора A, дей-
ствующего из X в Y , величина
kAk = sup
kxk61
kAxk, x ∈ D
A
,
называется нормой оператора A.
Таким образом, всегда kAk > 0. В частности, если kAk =
= 0, то A — нулевой оператор. Если же kAk = +∞, то A —
неограниченный оператор.
Из теоремы 1 следует, что линейный оператор ограничен
тогда и только тогда, когда его норма ограничена.
Следствие 1. Линейный оператор A, действующий из X в
Y , ограничен тогда и только тогда, когда существует посто-
янная C > 0 такая, что
kAxk 6 Ckxk ∀x ∈ D
A
.
Очевидно,
sup
kxk=1
kAxk 6 kAk.
С другой стороны, если 0 < kxk 6 1, то
kAxk = kxk·
A
x
kxk
6
A
x
kxk
6 sup
kyk=1
kAyk,
и поэтому
kAk 6 sup
kxk=1
kAxk.
  § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах   63

и поэтому
                                        x
            ∀x ∈ M   kAxk = R A      6 RC.
                                 R
Следовательно, оператор A любое ограниченное множество
M ⊂ DA переводит в ограниченное множество пространства
Y.
   Определение 1. Для любого линейного оператора A, дей-
ствующего из X в Y , величина
                kAk = sup kAxk,          x ∈ DA ,
                      kxk61

называется нормой оператора A.
   Таким образом, всегда kAk > 0. В частности, если kAk =
= 0, то A — нулевой оператор. Если же kAk = +∞, то A —
неограниченный оператор.
   Из теоремы 1 следует, что линейный оператор ограничен
тогда и только тогда, когда его норма ограничена.
    Следствие 1. Линейный оператор A, действующий из X в
Y , ограничен тогда и только тогда, когда существует посто-
янная C > 0 такая, что
                 kAxk 6 Ckxk          ∀ x ∈ DA .


   Очевидно,
                     sup kAxk 6 kAk.
                     kxk=1
С другой стороны, если 0 < kxk 6 1, то
                                     
                       x             x
    kAxk = kxk · A          6 A           6 sup kAyk,
                      kxk           kxk    kyk=1

и поэтому
                     kAk 6 sup kAxk.
                              kxk=1

Страницы