Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

60 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
§ 4. Операторы в линейных нормированных
пространствах
4.1. Общие замечания
В этом параграфе будем рассматривать операторы, дей-
ствующие из одного линейного нормированного пространства
в другое. Для таких операторов имеют смысл все понятия, вве-
дённые в §2 для отображений одного метрического простран-
ства в другое, и остаются справедливыми все доказанные там
утверждения. Здесь лишь напомним некоторые общепринятые
обозначения и понятия.
Пусть задан оператор f, действующий из множества X в
множество Y . Через D
f
или D(f), как обычно, будем обозна-
чать область определения оператора f, а через R
f
или R(f ) —
множество его значений. В общем случае не предполагается,
что D
f
= X или R
f
= Y .
Пусть заданы два оператора f и F , действующие из X в Y .
Они называются равными, если D
f
= D
F
и f(x) = F (x) для
любого x ∈ D
f
. Если же D
f
⊂ D
F
и f (x) = F (x) для любого
x ∈ D
f
, то оператор F называется расширением оператора f,
а оператор f — сужением оператора F .
Как известно, вместо термина “оператор” можно использо-
вать термины “функция” или “отображение”.
Определение 1. Оператор f, действующий из нормиро-
ванного пространства X в нормированное пространство Y , на-
зывается ограниченным, если он любое множество M ⊂ D
f
,
ограниченное в X, переводит в множество f(M ), ограничен-
ное в Y .
Короче, оператор f называется ограниченным, если образ
любого ограниченного множества из D
f
является ограничен-
ным.
Отметим, что линейная функция y = ax + b, a 6= 0, рас-
сматриваемая как оператор, отображающий R на R, является
60     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


     § 4. Операторы в линейных нормированных
                   пространствах
4.1. Общие замечания
   В этом параграфе будем рассматривать операторы, дей-
ствующие из одного линейного нормированного пространства
в другое. Для таких операторов имеют смысл все понятия, вве-
дённые в § 2 для отображений одного метрического простран-
ства в другое, и остаются справедливыми все доказанные там
утверждения. Здесь лишь напомним некоторые общепринятые
обозначения и понятия.
   Пусть задан оператор f , действующий из множества X в
множество Y . Через Df или D(f ), как обычно, будем обозна-
чать область определения оператора f , а через Rf или R(f ) —
множество его значений. В общем случае не предполагается,
что Df = X или Rf = Y .
   Пусть заданы два оператора f и F , действующие из X в Y .
Они называются равными, если Df = DF и f (x) = F (x) для
любого x ∈ Df . Если же Df ⊂ DF и f (x) = F (x) для любого
x ∈ Df , то оператор F называется расширением оператора f ,
а оператор f — сужением оператора F .
   Как известно, вместо термина “оператор” можно использо-
вать термины “функция” или “отображение”.
   Определение 1. Оператор f , действующий из нормиро-
ванного пространства X в нормированное пространство Y , на-
зывается ограниченным, если он любое множество M ⊂ Df ,
ограниченное в X, переводит в множество f (M ), ограничен-
ное в Y .
   Короче, оператор f называется ограниченным, если образ
любого ограниченного множества из Df является ограничен-
ным.
   Отметим, что линейная функция y = ax + b, a 6= 0, рас-
сматриваемая как оператор, отображающий R на R, является

Страницы