Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Линейные, нормированные и банаховы пространства 57
тельно, если x = {ξ
k
} и y = {η
k
} принадлежат X, то
n
X
k=1
|ξ
k
+ η
k
|
p
!
1/p
6
n
X
k=1
|ξ
k
|
p
!
1/p
+
n
X
k=1
|η
k
|
p
!
1/p
.
Отсюда при n → ∞ получаем неравенство Гёльдера для бес-
конечных сумм
∞
X
k=1
|ξ
k
+ η
k
|
p
!
1/p
6
∞
X
k=1
|ξ
k
|
p
!
1/p
+
∞
X
k=1
|η
k
|
p
!
1/p
,
из которого следует, что множество X с введёнными операци-
ями является линейным пространством, а для функции
kxk
p
=
∞
X
k=1
|ξ
k
|
p
!
1/p,
справедливо неравенство треугольника. Другие аксиомы
нормы очевидны.
Полученное линейное нормированное пространство называ-
ется пространством l
p
. Докажем, что э то пространство пол-
ное.
Пусть последовательность {x
n
} элементов пространства l
p
,
p > 1, является фундаментальной, т.е.
∀ε > 0 : ∀n,m > N kx
n
− x
m
k
p
< ε, (7)
и, в частности, если x
n
= {ξ
n
k
}, то
|ξ
n
k
− ξ
m
k
| < ε ∀k.
Следовательно, при каждом фиксированном k последователь-
ность {ξ
n
k
} имеет предел. Пусть ξ
n
k
→ ξ
k
при n → ∞, и пусть
x = {ξ
k
}.
Из неравенства (7) следует, что
M
X
k=1
|ξ
n
k
− ξ
m
k
|
p
< ε
p
    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства         57


тельно, если x = {ξk } и y = {ηk } принадлежат X, то
       n
                      !1/p    n
                                        !1/p   n
                                                        !1/p
      X                      X                 X
          |ξk + ηk |p      6     |ξk |p      +   |ηk |p      .
       k=1                      k=1                k=1
Отсюда при n → ∞ получаем неравенство Гёльдера для бес-
конечных сумм
      ∞
                     !1/p   ∞
                                     !1/p   ∞
                                                     !1/p
      X                     X               X
         |ξk + ηk |p      6   |ξk |p      +   |ηk |p      ,
       k=1                      k=1                k=1
из которого следует, что множество X с введёнными операци-
ями является линейным пространством, а для функции
                             ∞
                                      !1/p,
                            X
                    kxkp =     |ξk |p
                                  k=1
справедливо неравенство треугольника.      Другие аксиомы
нормы очевидны.
   Полученное линейное нормированное пространство называ-
ется пространством lp . Докажем, что это пространство пол-
ное.
   Пусть последовательность {xn } элементов пространства lp ,
p > 1, является фундаментальной, т.е.
             ∀ε > 0 :   ∀ n,m > N        kxn − xm kp < ε,        (7)
и, в частности, если xn = {ξkn }, то
                        |ξkn − ξkm | < ε ∀ k.
Следовательно, при каждом фиксированном k последователь-
ность {ξkn } имеет предел. Пусть ξkn → ξk при n → ∞, и пусть
x = {ξk }.
   Из неравенства (7) следует, что
                        M
                        X
                              |ξkn − ξkm |p < εp
                        k=1

Страницы