Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 55 стр.

    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства            55

где α — число. Очевидно, сумма двух ограниченных последо-
вательностей и произведение ограниченной последовательно-
сти на число являются ограниченными последовательностями.
В этом линейном пространстве норму введём с помощью ра-
венства
                       kxk = sup |ξk |.               (5)
                                  k
   Легко проверяется, что функция (5) на множестве X удо-
влетворяет всем аксиомам нормы.
   Так полученное нормированное пространство называется
пространством m ограниченных числовых последовательно-
стей. Покажем, что это пространство полное.
   Пусть последовательность {xn } элементов пространства m
является фундаментальной, т.е. если xn = {ξkn }, то выполня-
ется условие:
      ∀ε > 0   ∃N :    ∀ n > N, ∀ p       sup |ξkn − ξkn+p | < ε.   (6)
                                            k
Тогда для любого фиксированного k числовая последователь-
ность {ξkn } тоже фундаментальная и, следовательно, имеет пре-
дел. Пусть
                          lim ξkn = ξk .
                          n→∞
   В неравенстве |ξkn − ξkn+p | < ε, которое следует из неравен-
ства (6), перейдём к пределу при p → ∞. В результате для
любого k получим неравенство
                    |ξkn − ξk | 6 ε     ∀ n > N.
Отсюда следует, что
                  sup |ξkn − ξk | 6 ε    ∀ n > N,
                   k
т.е. последовательность {xn } сходится к элементу x = {ξk }.
Чтобы завершить доказательство, заметим, что kxk < +∞.
Действительно,
          kxk 6 kx − xN k + kxN k 6 ε + kxN k < +∞.