Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 49 стр.

    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства               49

последовательность чисел λn , n ∈ N, такая, что
                                    ∞
                                    X
                              x=          λn en .
                                    n=1

    Здесь ряд сходится к элементу x по норме пространства X,
т.е. выполняется условие:
                                                    n
                                                    X
        ∀ε > 0     ∃N :       ∀n > N          x−          λ)kek < ε.
                                                    k=1

   Очевидно, что система функций (7) хотя и является пол-
ной в пространстве C[a; b], однако она не будет базисом в этом
пространстве. Типичным примером базиса является тригоно-
метрическая система
                 1, cos x, sin x, . . . , cos nx, sin nx, . . .
являющаяся базисом в пространстве L2 [−π; π].
3.3. Теорема о пополнении нормированных пространств
   Полное нормированное пространство X ∗ называется попол-
нением нормированного пространства X, если в X ∗ суще-
ствует подпространство X 0 , которое изоморфно пространству
X и плотно в пространстве X ∗ .
   Напомним, что плотность X 0 в X ∗ означает, что для любого
x ∈ X ∗ выполняется условие:
 ∗

              ∀ε > 0       ∃ x0 ∈ X 0 :      kx∗ − x0 k∗ < ε,
где k . . . k∗ обозначает норму в X ∗ .
   Теорема. Любое линейное нормированное пространство
имеет пополнение.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Любое нормированное простран-
ство X является метрическим с метрикой
                            ρ(x,y) = kx − yk.