Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 45 стр.

   § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства   45

является полунормой. Однако если функции f и g, которые
отличаются на аддитивную постоянную, считать равными, то
функция (5) будет нормой.
   В дальнейшем будем рассматривать только нормирован-
ные пространства, считая, что два элемента равны, если норма
их разности равна нулю.
   Легко проверить, что функция
                 ρ(x,y) = kx − yk, x,y ∈ X,
удовлетворяет всем аксиомам метрики. Следовательно, линей-
ное нормированное пространство является метрическим, и по-
этому в нём определены все понятия метрического простран-
ства.
   Например, множество E элементов нормированного про-
странства X называется ограниченным, если
               ∃M > 0 :   ∀x ∈ E    kxk 6 M.
   Последовательность {xn } точек нормированного простран-
ства X называется сходящейся к точке x0 , если
          ∀ ε > 0 ∃N :    ∀n > N   kxn − x0 k < ε.
   Последовательность {xn } называется фундаментальной,
если
          ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n,m > N kxn − xm k < ε.
   Нормированное пространство X называется полным, если
любая фундаментальная последовательность его элементов
имеет предел в этом пространстве.
   Определение 3. Полное нормированное пространство на-
зывается банаховым.
   Важным примером банахова пространства является про-
странство C[a; b].
   Определение 4. Линейные нормированные пространства
X1 и X2 называются изоморфными, если существует изомор-