Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 38 стр.

38      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Отсюда следует, что если выполняется условие
                          n
                          X
                     max    |aij | < 1,                         (5)
                            i
                                j=1
то отображение (4) будет сжимающим.
   Таким образом, доказано следующее утверждение.
   Теорема 2. Если матрица A удовлетворяет условию (5), то
уравнение x − Ax = b имеет единственное решение при любом
b. Это решение можно получить методом последовательных
приближений при любом выборе начального приближения.
   Заметим, что если точка x0 является неподвижной для ото-
бражения f , то она будет неподвижной и для n-й степени
этого отображения. Для сжимающего отображения справед-
ливо обратное утверждение.
   Теорема 3. Если некоторая степень отображения полного
метрического пространства в себя является сжимающим ото-
бражением, то само отображение имеет и притом единствен-
ную неподвижную точку.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение f : X → X та-
кое, что его n-я степень, т.е. отображение
                  f n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f,     n > 1,
является сжимающим. Согласно теореме 1, у отображения f n
существует неподвижная точка, т.е.
                      ∃a ∈ X :        f n (a) = a.
Тогда f (a) = f (f n (a)) = f n (f (a)), т.е. точка f (a) тоже непо-
движная для f n . А так как сжимающее отображение f n может
иметь только одну неподвижную точку, то f (a) = a.
   Существование неподвижной точки у отображения f дока-
зано. Единственность следует из того, что неподвижная точка
для f будет неподвижной и для f n .
   Теорема 3 доказана.