Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 36 стр.

36     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Отсюда по формуле для суммы геометрической прогрессии
следует, что
                                 q
                 ρ(xn ,xn+p ) 6     ρ(x0 ,x1 )           (3)
                                1−q
для любого n и любого p, что и доказывает, что последова-
тельность {xn } фундаментальная. А так как пространство X
полное, то существует точка a ∈ X, к которой эта последо-
вательность сходится. Тогда из равенства (2) в пределе при
n → ∞ следует, что a = f (a), т.е. точка a ∈ X является
неподвижной точкой отображения f . Докажем, что эта непо-
движная точка единственная.
   Пусть существует точка b ∈ X такая, что f (b) = b. Тогда
               ρ(a; b) = ρ(f (a),f (b)) 6 qρ(a; b),
а так как q < 1, то ρ(a; b) = 0, и, следовательно, a = b.
   Теорема доказана.
   Эта теорема называется принципом сжимающих отобра-
жений. Сделаем несколько замечаний к этой теореме.
   Построение последовательности {xn } с помощью рекур-
рентной формулы (2) и исследование её сходимости обычно
называют методом последовательных приближений.
   Из доказанной теоремы следует, что если метрическое про-
странство X полное, а отображение f : X → X сжимающее, то
уравнение f (x) = x имеет единственное решение, которое явля-
ется пределом последовательных приближений (2) при любом
начальном приближении x0 .
   Из неравенства (3) в пределе при p → ∞ получаем неравен-
ство
                               qn
                  ρ(xn ,a) 6        ρ(x0 ,f (x0 )),
                              1−q
которое даёт оценку близости приближения xn к решению a в
метрике рассматриваемого пространства.
   Принцип сжимающих отображений позволяет единым ме-
тодом доказывать теоремы о существовании и единственности
решений дифференциальных, интегральных и других уравне-