Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 33 стр.

         § 2. Отображения метрических пространств        33


f (F ) замкнуто. Для обратного отображения f −1 множество
f (F ) является прообразом множества F . Следовательно, при
отображении f −1 прообраз каждого замкнутого множества F
является замкнутым, и поэтому (см. следствие из п.2.1) ото-
бражение f −1 непрерывно.
    Теорема 3 доказана.
   Определение 3. Отображение f метрического простран-
ства X в множество R действительных чисел называется функ-
ционалом.
   Теорема 4. Если функционал f определён и непрерывен на
компактном метрическом пространстве X, то он на X ограни-
чен и принимает наименьшее и наибольшее значения.
    Действительно, образом компакта X является компакт
f (X) ⊂ R. Он является ограниченным и замкнутым и, в част-
ности, содержит наибольшее и наименьшее значения.
2.3. Непрерывные отображения связных множеств
   Напомним, что для множеств точек пространства Rn уже
было введено понятие связности. Именно, множество X на-
зывается несвязным, если существуют два непересекающихся
открытых множества G1 и G2 , каждое из которых пересека-
ется с множеством X и объединение которых содержит X. В
противном случае множество X называется связным. Так же
определяются связные и несвязные множества точек любого
метрического пространства {M ; ρ}. В частности, метрическое
пространство {M ; ρ} называется связным, если множество M
связно.
   Заметим, что в метрическом пространстве {M ; ρ} множе-
ство M всегда открытое и замкнутое. Поэтому если множе-
ства G1 и G2 открытые, то множества M1 = G1 ∩ M , M2 =
= G2 ∩ M тоже открытые.
   Это замечание позволяет для метрических пространств
следующим образом определить понятие связности.