Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Метрические пространства 27
Пусть для выбранного ε > 0 ε-сеть состоит из функций
f
1
(x), . . . ,f
N
(x).
Каждая функция f
j
(x) равномерно непрерывна на [a; b]. По-
этому
∃δ > 0 : ∀j, ∀x
1
,x
2
∈ [a; b] : |x
2
− x
1
| < δ ⇒
⇒ |f
j
(x
2
) − f
j
(x
1
)| < ε.
Пусть теперь f ∈ S. В силу определения ε-сети
∃j : max
x
|f(x) − f
j
(x)| < ε.
Поэтому если |x
1
− x
2
| < δ, то
|f(x
1
) − f(x
2
)| 6 |f(x
1
) − f
j
(x
1
)|+
+ |f
j
(x
1
) − f
j
(x
2
)| + |f
j
(x
2
) − f(x
2
)| <
< 3ε.
И так как это выполняется для любой f ∈ S, то мы дока-
зали, что семейство S равностепенно непрерывно.
Докажем обратное утверждение: если семейство S равно-
мерно ограничено и равностепенно непрерывно, то оно пред-
компактно. А так как пространство C[a; b] полное, то доста-
точно доказать, что семейство S вполне ограничено в про-
странстве функций, определённых и ограниченных на отрезке
[a; b].
Итак, пусть семейство S функций f ∈ C[a; b] удовлетворяет
условиям (1) и (2). Зададим некоторое ε > 0. Для этого ε > 0
на отрезке [a; b] выберем точки x
1
,x
2
, . . . ,x
n
так, чтобы
a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b, x
i
− x
i−1
< δ ∀i,
а на отрезке [−c; c] — точки y
0
,y
1
, . . . ,y
m
так, чтобы
−c = y
0
< y
1
< . . . < y
m
= c, y
j
− y
j−1
< ε ∀j.
Через A обозначим множество всех непрерывных на [a; b] функ-
ций, графиками которых являются ломаные с вершинами в
                   § 1. Метрические пространства                              27

   Пусть для выбранного ε > 0 ε-сеть состоит из функций
                              f1 (x), . . . ,fN (x).
Каждая функция fj (x) равномерно непрерывна на [a; b]. По-
этому
        ∃δ > 0 :      ∀ j, ∀ x1 ,x2 ∈ [a; b] :         |x2 − x1 | < δ ⇒
                        ⇒ |fj (x2 ) − fj (x1 )| < ε.
   Пусть теперь f ∈ S. В силу определения ε-сети
                    ∃j :      max |f (x) − fj (x)| < ε.
                                x
Поэтому если |x1 − x2 | < δ, то
    |f (x1 ) − f (x2 )| 6 |f (x1 ) − fj (x1 )|+
                           + |fj (x1 ) − fj (x2 )| + |fj (x2 ) − f (x2 )| <
                      < 3ε.
     И так как это выполняется для любой f ∈ S, то мы дока-
зали, что семейство S равностепенно непрерывно.
     Докажем обратное утверждение: если семейство S равно-
мерно ограничено и равностепенно непрерывно, то оно пред-
компактно. А так как пространство C[a; b] полное, то доста-
точно доказать, что семейство S вполне ограничено в про-
странстве функций, определённых и ограниченных на отрезке
[a; b].
     Итак, пусть семейство S функций f ∈ C[a; b] удовлетворяет
условиям (1) и (2). Зададим некоторое ε > 0. Для этого ε > 0
на отрезке [a; b] выберем точки x1 ,x2 , . . . ,xn так, чтобы
       a = x0 < x1 < . . . < xn = b,              xi − xi−1 < δ     ∀ i,
а на отрезке [−c; c] — точки y0 ,y1 , . . . ,ym так, чтобы
      −c = y0 < y1 < . . . < ym = c,               yj − yj−1 < ε ∀ j.
Через A обозначим множество всех непрерывных на [a; b] функ-
ций, графиками которых являются ломаные с вершинами в

Страницы