Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Метрические пространства 23
В силу того, что множество M вполне ограничено, для лю-
бого ε > 0 существует конечное число точек x
1
,x
2
, . . . ,x
N
та-
ких, что шары O
ε
(x
j
), j = 1,2, . . . ,N, покрывают множество
M. Из нашего предположения следует, что одно из множеств
O
1
(x
j
) не покрывается никакой конечной совокупностью мно-
жеств X
α
. Обозначим это множество через F
1
. Оно вполне
ограниченное, поэтому для ε = 1/2 существует конечное чи-
сло точек таких, что шары радиуса 1/2 с центрами в этих
точках покрывают F
1
. Через F
2
обозначим ту часть множе-
ства F
1
, которая лежит в круге радиуса 1/2 и не покрывается
никакой конечной совокупностью множеств X
α
. Поступая так
и далее, по индукции построим последовательность замкнутых
множеств F
n
, n ∈ N, таких, что
F
n+1
⊂ F
n
, d(F
n
) 6
2
n
,
причём любое из них не покрывается никакой конечной сово-
купностью множеств X
α
.
С другой стороны, в силу полноты пространства M мно-
жества F
n
, n ∈ N, имеют одну общую точку x
0
∈ M. Точка
x
0
накрывается некоторым открытым множеством X
α
0
, при-
чём это множество покрывает некоторый шар O
δ
(x
0
), δ > 0.
Если
2
n
< δ, то F
n
⊂ O
δ
(x
0
). Следовательно, если
2
n
< δ, то
F
n
⊂ X
α
0
, что противоречит нашему предположению.
Теорема 2 доказана.
Таким образом, имеет место следующий критерий ком-
пактности метрических пространств:
Для того чтобы метрическое пространство было ком-
пактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было полным
и вполне ограниченным.
Докажем ещё один критерий компактности метрических
пространств.
Теорема 3. Метрическое пространство компактно тогда
                § 1. Метрические пространства                 23

    В силу того, что множество M вполне ограничено, для лю-
бого ε > 0 существует конечное число точек x1 ,x2 , . . . ,xN та-
ких, что шары Oε (xj ), j = 1,2, . . . ,N , покрывают множество
M . Из нашего предположения следует, что одно из множеств
O1 (xj ) не покрывается никакой конечной совокупностью мно-
жеств Xα . Обозначим это множество через F1 . Оно вполне
ограниченное, поэтому для ε = 1/2 существует конечное чи-
сло точек таких, что шары радиуса 1/2 с центрами в этих
точках покрывают F1 . Через F2 обозначим ту часть множе-
ства F1 , которая лежит в круге радиуса 1/2 и не покрывается
никакой конечной совокупностью множеств Xα . Поступая так
и далее, по индукции построим последовательность замкнутых
множеств Fn , n ∈ N, таких, что
                                              2
                   Fn+1 ⊂ Fn ,    d(Fn ) 6 ,
                                              n
причём любое из них не покрывается никакой конечной сово-
купностью множеств Xα .
    С другой стороны, в силу полноты пространства M мно-
жества Fn , n ∈ N, имеют одну общую точку x0 ∈ M . Точка
x0 накрывается некоторым открытым множеством Xα0 , при-
чём это множество покрывает некоторый шар Oδ (x0 ), δ > 0.
      2                                                2
Если n < δ, то Fn ⊂ Oδ (x0 ). Следовательно, если n < δ, то
Fn ⊂ Xα0 , что противоречит нашему предположению.
   Теорема 2 доказана.
   Таким образом, имеет место следующий критерий ком-
пактности метрических пространств:
   Для того чтобы метрическое пространство было ком-
пактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было полным
и вполне ограниченным.
   Докажем ещё один критерий компактности метрических
пространств.
   Теорема 3. Метрическое пространство компактно тогда

Страницы