Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 21 стр.

              § 1. Метрические пространства              21

   Лемма. Множество X точек метрического пространства
{M ; ρ} компактно (вполне ограничено) тогда и только тогда,
когда компактно (соответственно вполне ограничено) метри-
ческое пространство {X; ρ}.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество X ⊂ M ком-
пактно. Докажем, что пространство {X; ρ} тоже компактно.
    Пусть открытые в пространстве {X; ρ} множества Xα , α ∈
∈ A, покрывают множество X. Вообще говоря, эти множества
могут не быть открытыми в пространстве {M ; ρ}, однако их
δ-окрестности в этом пространстве будут открытыми. В силу
компактности множеств X ⊂ M существует конечное число
множеств Xα , δ-окрестности которых покрывают множество
X. Эти множества покрывают множество X в пространстве
{X; ρ}.
    Пусть теперь пространство {X; ρ} компактное. Докажем,
что множество X ⊂ M компактно в пространстве {M ; ρ}.
    Пусть открытые в пространстве {M ; ρ} множества Gα ⊂
⊂ M , α ∈ A, покрывают множество M . Очевидно, множества
                 Xα = Gα ∩ X,      α ∈ A,
являются открытыми в пространстве {X; ρ} и покрывают мно-
жество X. В силу компактности пространства {X; ρ} суще-
ствует конечное число множеств Gα , пересечения которых с X
покрывают множество X. Эти множества покрывают множе-
ство X.
   Первое утверждение доказано. Второе утверждение почти
очевидное. Докажите его в качестве упражнения.
   В силу этой леммы в дальнейшем для простоты все утвер-
ждения о компактных множествах будем формулировать и до-
казывать для компактных пространств.
   Теорема 1. Если метрическое пространство компактное,
то оно полное и вполне ограниченное.