Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1. Метрические пространства 19
<
1
n
+ ρ
∗
(x
∗
n
,x
∗
m
) +
1
m
(1)
и фундаментальности последовательности {x
∗
n
}. А так как
ρ
∗
(y
∗
n
,y
∗
m
) = ρ(y
n
,y
m
), то фундаментальной будет и последо-
вательность {y
n
}. Через y
∗
обозначим класс эквивалентных
фундаментальных последовательностей, содержащий последо-
вательность {y
n
}. Тогда
ρ
∗
(y
∗
,x
∗
n
) 6 ρ
∗
(y
∗
,y
∗
n
) + ρ
∗
(y
∗
n
,x
∗
n
) < ρ
∗
(y
∗
,y
∗
n
) +
1
n
=
= lim
k→∞
ρ(y
k
,y
n
) +
1
n
.
А так как
∀ε > 0 ∃N
ε
: ∀k,n > N
ε
ρ(x
k
,y
n
) +
1
n
<
ε
2
,
то
∀n > N
ε
ρ
∗
(y
∗
,x
∗
n
) 6
ε
2
< ε,
и, следовательно, lim
n→∞
ρ
∗
(y
∗
,x
∗
n
) = 0.
Теорема доказана.
В пункте 1.2 было доказано, что пространство CL
1
([a; b])
является неполным. Пополнение этого пространства обозна-
чается L
1
([a; b]) и называется пространством абсолютно ин-
тегрируемых на отрезке [a; b] функций.
1.4. Компакты
Как и для множеств точек пространства R
n
, произвольная
совокупность множеств X
α
, α ∈ A, точек метрического про-
странства {M; ρ} называется покрытием множества X ⊂ M ,
если X ⊂
S
α
X
α
. Покрытие называется открытым, если все
его множества открытые.
Определение 1. Множество X точек метрического про-
странства {M; ρ} называется компактным (или компактом),
если из любого его открытого покрытия можно выделить ко-
нечное число множеств, которые тоже покрывают множество
X.
                    § 1. Метрические пространства                              19

                            1                         1
                     <         + ρ∗ (x∗n ,x∗m ) +                              (1)
                            n                         m
и фундаментальности последовательности {x∗n }. А так как
ρ∗ (yn∗ ,ym
          ∗ ) = ρ(y ,y ), то фундаментальной будет и последо-
                        n m
вательность {yn }. Через y ∗ обозначим класс эквивалентных
фундаментальных последовательностей, содержащий последо-
вательность {yn }. Тогда
                                                                            1
         ρ∗ (y ∗ ,x∗n ) 6 ρ∗ (y ∗ ,yn∗ ) + ρ∗ (yn∗ ,x∗n ) < ρ∗ (y ∗ ,yn∗ ) + =
                                                                            n
                                                 1
                        = lim ρ(yk ,yn ) + .
                          k→∞                   n
А так как
                                                                       1    ε
           ∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ k,n > Nε ρ(xk ,yn ) + < ,
                                                                       n    2
то                                                         ε
                         ∀ n > Nε ρ∗ (y ∗ ,x∗n ) 6 < ε,
                                                           2
и, следовательно, lim ρ∗ (y ∗ ,x∗n ) = 0.
                          n→∞
    Теорема доказана.
    В пункте 1.2 было доказано, что пространство CL1 ([a; b])
является неполным. Пополнение этого пространства обозна-
чается L1 ([a; b]) и называется пространством абсолютно ин-
тегрируемых на отрезке [a; b] функций.
1.4. Компакты
    Как и для множеств точек пространства Rn , произвольная
совокупность множеств Xα , α ∈ A, точек метрического про-
странства S{M ; ρ} называется покрытием множества X ⊂ M ,
если X ⊂ α Xα . Покрытие называется открытым, если все
его множества открытые.
   Определение 1. Множество X точек метрического про-
странства {M ; ρ} называется компактным (или компактом),
если из любого его открытого покрытия можно выделить ко-
нечное число множеств, которые тоже покрывают множество
X.

Страницы