Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 8 стр.

8      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G открыто, и пусть x0 ∈ G.
Тогда
                       ∃ δ > 0 : Oδ (x0 ) ⊂ G,
и поэтому точка x0 ∈ G не может быть точкой прикосновения
множества F = M \G. Следовательно, любая точка прикосно-
вения множества F принадлежит F , т.е. F замкнуто.
    Пусть теперь множество F = M \ G замкнуто, и пусть x0 ∈
∈ G. Тогда точка x0 не может быть предельной точкой для F ,
поэтому
                  ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ Oδ (x0 ) x 6∈ F,
и, следовательно, Oδ (x0 ) ⊂ G.
    Лемма 1 доказана.
   Лемма 2. Объединение любой совокупности открытых
множеств есть открытое множество. Пересечение любой сово-
купности замкнутых множеств есть замкнутое множество.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задана некоторая совокуп-
ность (конечная или бесконечная)S     открытых множеств Gα ⊂
⊂ M . Тогда если x0 ∈ G = α Gα , то ∃ α : x ∈ Gα . А так как
Gα открыто, то
                    ∃δ > 0 :   Oδ (x0 ) ⊂ Gα ,
и поэтому Oδ (x0 ) ⊂ G. Следовательно, множество G открытое.
   Второе утверждение следует из леммы 1. Действительно,
          T совокупность замкнутых множеств Fα ⊂ M , и
пусть задана
пусть F = α Fα .
                                  T
   Множества Gα = M \Fα и G = α Gα открытые. А так как
F = M \G, то множество F замкнутое.
   Лемма 2 доказана.
   Лемма 3. Пересечение любой конечной совокупности от-
крытых множеств есть открытое множество. Объединение лю-
бой конечной совокупности замкнутых множеств есть замкну-
тое множество.