Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
что последовательность {x
n
} сходится к точке x
0
, и писать:
x
n
→ x
0
при n → ∞ или lim
n→∞
x
n
= x
0
.
Последовательность точек метрического пространства мо-
жет сходиться только к одной точке. Де йствительно, если
x
n
→ x и x
n
→ y при n → ∞, то
ρ(x,y) 6 ρ(x,x
n
) + ρ(x
n
,y) → 0
при n → ∞, поэтому ρ(x,y) = 0, и, следовательно, x = y.
Определение 6. Множество X ⊂ M называется ограни-
ченным, если существует точка x
0
∈ M и число r > 0 такое,
что X ⊂ O
r
(x
0
).
Очевидно, если последовательность {x
n
} точек метриче-
ского пространства {M ; ρ} сходится к точке x
0
∈ M, то эта
последовательность ограничена.
Действительно, так как ρ(x
n
,x
0
) → 0 при n → ∞, то
∃C : ρ(x
n
,x
0
) 6 C ∀n.
Определение 7. Пусть G — множество точек метриче-
ского пространства {M; ρ}. Точка x
0
∈ M называется точ-
кой прикосновения множества G ⊂ M, если в любой ε-
окрестности точки x
0
содержится хотя бы одна точка множе-
ства G.
Множество всех точек прикосновения множества G⊂M на-
зывается замыканием множества G и обозначается G.
Множество называется замкнутым, если оно совпадает со
своим замыканием.
Множество всех точек ε-окрестности точки x
0
, отличных
от x
0
, называется проколотой ε-окрестностью точки x
0
и
обозначается
◦
O
ε
(x
0
).
Точка x
0
∈ M называется предельной точкой множества
G ⊂ M, если в любой проколотой ε-окрестности точки x
0
со-
держится хотя бы одна точка множества G.
6      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


что последовательность {xn } сходится к точке x0 , и писать:
         xn → x0     при n → ∞ или           lim xn = x0 .
                                             n→∞
   Последовательность точек метрического пространства мо-
жет сходиться только к одной точке. Действительно, если
xn → x и xn → y при n → ∞, то
                  ρ(x,y) 6 ρ(x,xn ) + ρ(xn ,y) → 0
при n → ∞, поэтому ρ(x,y) = 0, и, следовательно, x = y.
   Определение 6. Множество X ⊂ M называется ограни-
ченным, если существует точка x0 ∈ M и число r > 0 такое,
что X ⊂ Or (x0 ).
   Очевидно, если последовательность {xn } точек метриче-
ского пространства {M ; ρ} сходится к точке x0 ∈ M , то эта
последовательность ограничена.
   Действительно, так как ρ(xn ,x0 ) → 0 при n → ∞, то
                    ∃C :    ρ(xn ,x0 ) 6 C   ∀ n.

   Определение 7. Пусть G — множество точек метриче-
ского пространства {M ; ρ}. Точка x0 ∈ M называется точ-
кой прикосновения множества G ⊂ M , если в любой ε-
окрестности точки x0 содержится хотя бы одна точка множе-
ства G.
   Множество всех точек прикосновения множества G⊂M на-
зывается замыканием множества G и обозначается G.
   Множество называется замкнутым, если оно совпадает со
своим замыканием.
   Множество всех точек ε-окрестности точки x0 , отличных
от x0 , называется проколотой ε-окрестностью точки x0 и
              ◦
обозначается O ε (x0 ).
   Точка x0 ∈ M называется предельной точкой множества
G ⊂ M , если в любой проколотой ε-окрестности точки x0 со-
держится хотя бы одна точка множества G.

Страницы