Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
ются разные метрические пространства. И наоборот, на раз-
ных множествах метрика может быть задана по одному и тому
же правилу.
Примером метрического пространства является n-мерное
евклидово пространство R
n
, элементами (точками) которого
являются всевозможные упорядоченные совокупности из n дей-
ствительных чисел и в котором расстояние между любыми
двумя точками x = (x
1
, . . . ,x
n
) и y = (y
1
, . . . ,y
n
) определено
по формуле
ρ(x,y) =
n
X
j=1
|y
j
− x
j
|
2
1/2
. (1)
Известно (см. §1 гл. 6), что функция (1) удовлетворяет всем
аксиомам метрики.
Легко видеть, что функции
ρ
0
(x,y) = max
j
|y
j
− x
j
|, (2)
ρ
1
(x,y) =
n
X
j=1
|y
j
− x
j
| (3)
тоже удовлетворяют всем аксиомам метрики.
Другим примером метрического пространства является
пространство C
n
, элементами которого являются всевозмож-
ные упорядоченные совокупности из n комплексных чисел и в
котором метрика определена по формуле (1). Очевидно, что
функции (2) и (3) на C
n
тоже удовлетворяют всем аксиомам
метрики.
Определение 3. Пусть задано метрическое пространство
{M; ρ} и некоторое подмножество M
1
множества M. Тогда
метрическое пространство {M
1
; ρ} называется подпростран-
ством метрического пространства {M; ρ}.
Заметим, что в этом определении нет никаких ограничений
на множество M
1
⊂ M. В частности, оно может содержать
4       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

ются разные метрические пространства. И наоборот, на раз-
ных множествах метрика может быть задана по одному и тому
же правилу.
   Примером метрического пространства является n-мерное
евклидово пространство Rn , элементами (точками) которого
являются всевозможные упорядоченные совокупности из n дей-
ствительных чисел и в котором расстояние между любыми
двумя точками x = (x1 , . . . ,xn ) и y = (y1 , . . . ,yn ) определено
по формуле
                                            1/2
                            X  n
                ρ(x,y) =        |yj − xj |2  .                   (1)
                               j=1
Известно (см. § 1 гл. 6), что функция (1) удовлетворяет всем
аксиомам метрики.
   Легко видеть, что функции
                      ρ0 (x,y) = max |yj − xj |,                  (2)
                                    j
                                   n
                                   X
                      ρ1 (x,y) =         |yj − xj |               (3)
                                   j=1
тоже удовлетворяют всем аксиомам метрики.
   Другим примером метрического пространства является
пространство Cn , элементами которого являются всевозмож-
ные упорядоченные совокупности из n комплексных чисел и в
котором метрика определена по формуле (1). Очевидно, что
функции (2) и (3) на Cn тоже удовлетворяют всем аксиомам
метрики.
   Определение 3. Пусть задано метрическое пространство
{M ; ρ} и некоторое подмножество M1 множества M . Тогда
метрическое пространство {M1 ; ρ} называется подпростран-
ством метрического пространства {M ; ρ}.
   Заметим, что в этом определении нет никаких ограничений
на множество M1 ⊂ M . В частности, оно может содержать

Страницы