Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 4 стр.

                              Предисловие
   Настоящее пособие содержит упражнения и задачи, которые можно отнести к
разделу "Введение в математический анализ". Кроме того, здесь приведены
определения основных понятий и формулировки основных утверждений теории
действительных чисел, числовых последовательностей и непрерывных функций. Более
подробные разъяснения и доказательства можно найти в учебном пособии
Г.Н. Яковлева "Лекции по математическому анализу", часть 1.
   Как и в "Лекциях", здесь предполагается, что конечные десятичные дроби мы
умеем сравнивать, складывать, вычитать и умножать по обычным правилам
арифметики. Исходя из этого, для бесконечных десятичных дробей вводятся понятия
"равно", "меньше", "больше", и тем самым множество всех бесконечных десятичных
дробей превращается в линейно упорядоченное множество, которое обозначается R и
называется множеством действительных чисел. Далее с помощью понятия окрестности
определяется понятие предела числовой последовательности и доказывается одна из
основных теорем – теорема о существовании предела у монотонной ограниченной
последовательности. На основе этой теоремы, используя десятичные приближения,
строится арифметика действительных чисел.
   После того, как уже определены сумма, разность, произведение и частное
действительных чисел, доказываются теоремы о пределе суммы, разности,
произведения и частного числовых последовательностей. А затем даются определения
степеней и логарифмов и доказываются их основные свойства.
   Отметим, что такие утверждения, как принцип вложенных отрезков
действительной прямой, теорема Больцано-Вейерштрасса о частичных пределах и
критерий Коши для числовой последовательности, доказываются на основе теоремы о
существовании предела у монотонной последовательности.
   Первая глава завершается рассмотрением разных классов множеств точек
числовой прямой: ограниченных и неограниченных, счетных и несчетных, открытых
и замкнутых, а также измеримых и неизмеримых.
   Вторая глава пособия посвящена числовым функциям одной переменной. Здесь
рассматриваются пределы функций, их свойства и основные свойства непрерывных
функций. Отметим, что так как уже есть понятие предельной точки, то пределы
функций определяются в предельных точках (как конечных, так и бесконечных). А
так как уже есть и понятия открытых и замкнутых множеств, то свойства
непрерывных функций тоже формулируются с использованием этих понятий.
Например: "При непрерывном отображении образом компакта является компакт".
   Завершается пособие рассмотрением некоторых понятий, связанных с изучением
асимптотического поведения функций в окрестности предельных точек.
   Следует отметить, что настоящее пособие почти не содержит так называемых
тренировочных задач и поэтому не может быть рекомендовано в качестве
единственного учебного сборника задач и упражнений.