Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I
Числовые последовательности
и множества
§ 1
.
Введение: множества и кванторы
Одним из первичных понятий в математике является понятие множества и его
элементов. Если объект а элемент множества А, то пишут или . Запись
Aa ∈ aA ∋ Aa ∉
означает, что объект а не является элементом множества А. Если каждый элемент
множества А является элементом множества В, то А называют подмножеством множества
В и пишут . В противном случае пишут .
BA ⊂
BA ⊄
Множества А и В, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными и пишут
А = В.
Для любых множеств А и В через обозначают их объединение, а через –
BA
∪
BA
∩
пересечение, т.е. общую часть этих множеств. Очевидно, операции объединения и
пересечения обладают свойством коммутативности, т.е.
ABBA
∪=∪
,
A
.
ABB
∩=∩
Если А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества А и В не
пересекаются, и пишут , где – обозначение пустого множества. Множество,
∅=∩ BA ∅
состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется
разностью множеств А и В и обозначается А\В. Очевидно, если , то А\В = .
BA ⊂ ∅
Доказать следующие утверждения.
1. Операции объединения и пересечения обладают свойством ассоциативности, т.е.
CBACBA
∪∪=∪∪
)()(
, для любых множеств А, В, С.
CBACBA
∩∩=∩∩
)()(
2.
Операция
объединения относительно операции пересечения и, наоборот, пересечения
относительно объединения обладают свойством дистрибутивности, т.е.
)()()( CBCACBA
∩∪∩=∩∪
, .
)()()( CBCACBA
∪∩∪=∪∩
3. Каждое из равенств и справедливо тогда и только тогда, когда
BBA =∪ ABA =∩
BA ⊂
.
4. Для любых множеств А, В, С:
1) ;
BABAA
∩=
)\(\
2) ;
)(\)()\()\( BABAABBA ∩∪=∪
3) ;
)(\\)\( CBACBA ∪=
4) .
)(\)()\( CBCACBA
∩∩=∩
Говорят, что между элементами множеств X и Y установлено взаимно однозначное
соответствие, если имеется правило, по которому каждому ставится в соответствие
Xx ∈
единственный элемент и каждый поставлен в соответствие единственному
Yy ∈ Yy ∈
Xx ∈
.
Два множества называются равномощными, если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие.
Множество, равномощное множеству N всех натуральных чисел, называется счетным.
Непустое множество называется конечным, если оно состоит из n элементов, где n –
некоторое натуральное число. В противном случае множество называется бесконечным.
Доказать следующие утверждения.
5. Любое бесконечное множество имеет счетное подмножество.
6. Объединение любого конечного числа счетных множеств является счетным
множеством. 
                                                I
                     Числовые последовательности
                            и множества

                                      § 1.
                         Введение: множества и кванторы
    Одним из первичных понятий в математике является понятие множества и его
элементов. Если объект а элемент множества А, то пишут a ∈ A или A ∋ a . Запись a ∉ A
означает, что объект а не является элементом множества А. Если каждый элемент
множества А является элементом множества В, то А называют подмножеством множества
В и пишут A ⊂ B . В противном случае пишут A ⊄ B .
    Множества А и В, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными и пишут
А = В.
    Для любых множеств А и В через A ∪ B обозначают их объединение, а через A ∩ B –
пересечение, т.е. общую часть этих множеств. Очевидно, операции объединения и
пересечения обладают свойством коммутативности, т.е.
                                        A∪ B = B ∪ A, A∩ B = B ∩ A.
    Если А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества А и В не
пересекаются, и пишут A ∩ B = ∅ , где ∅ – обозначение пустого множества. Множество,
состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется
разностью множеств А и В и обозначается А\В. Очевидно, если A ⊂ B , то А\В = ∅ .
    Доказать следующие утверждения.
1. Операции объединения и пересечения обладают свойством ассоциативности, т.е.
    A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C для любых множеств А, В, С.
2. Операция объединения относительно операции пересечения и, наоборот, пересечения
    относительно          объединения         обладают      свойством       дистрибутивности, т.е.
    ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) , ( A ∩ B) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) .
3. Каждое из равенств A ∪ B = B и A ∩ B = A справедливо тогда и только тогда, когда
    A ⊂ B.
4. Для любых множеств А, В, С:
    1) A \ ( A \ B) = A ∩ B ;
    2) ( A \ B) ∪ ( B \ A) = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B) ;
    3) ( A \ B) \ C = A \ ( B ∪ C ) ;
    4) ( A \ B) ∩ C = ( A ∩ C ) \ ( B ∩ C ) .
    Говорят, что между элементами множеств X и Y установлено взаимно однозначное
соответствие, если имеется правило, по которому каждому x ∈ X ставится в соответствие
единственный элемент y ∈ Y и каждый y ∈ Y поставлен в соответствие единственному
x∈ X .
    Два множества называются равномощными, если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие.
    Множество, равномощное множеству N всех натуральных чисел, называется счетным.
    Непустое множество называется конечным, если оно состоит из n элементов, где n –
некоторое натуральное число. В противном случае множество называется бесконечным.

    Доказать следующие утверждения.
5. Любое бесконечное множество имеет счетное подмножество.
6. Объединение любого конечного числа счетных множеств                       является счетным
    множеством.

Страницы