Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 7 стр.

    Очевидно, одинаковые десятичные дроби равны, но равными могут быть и разные
десятичные дроби. Например, 0,99...9... = 1,00...0... = 1.
    Для любой десятичной дроби α ≥ 0 конечные десятичные дроби (α ) n и (α ) n + 10 − n
называются n-ми десятичными приближениями (соответственно нижним и верхним) и
обозначаются (α ) и (α ) n .
    Таким образом, если α ≥ 0 , то
                                    (α ) n = (α ) n , (α ) n = (α ) n + 10 − n .
Если же α < 0 , то, по определению,
                                   (α ) n = (α ) n − 10 − n , (α ) n = (α ) n .
    Почти очевидно, что у любого действительного числа α нижние десятичные
приближения с возрастанием n не убывают, а верхние не возрастают, причем
                                            (α ) n ≤ α ≤ (α ) n ∀n
    Действительные числа, возникающие на практике, часто имеют особые
обозначения, поэтому говорят, что каждое действительное число изображается
некоторой десятичной дробью, а каждая десятичная дробь является представлением
некоторого действительного числа.
    Для наглядности действительные числа изображают точками прямой, на
которой выбрано направление и начало отсчета. Поэтому множество R всех
действительных чисел часто называют действительной (числовой) прямой (или
осью), а действительные числа – точками этой прямой.
    Напомним, что множество всех x ∈ R таких, что a ≤ x ≤ b , называется отрезком
числовой прямой R и обозначается [a; b ] , а множество всех x ∈ R : a < x < b называется
интервалом и обозначается (a; b ) .
1. Используя кванторы ∀ и ∃ , сформулируйте свойство, которое в множестве всех
    бесконечных десятичных дробей выделяет конечные десятичные дроби.
2. Дайте определение периодической десятичной дроби.
3. Дайте определение соотношения α ≠ β .
4. Доказать, что 0,99...9... = 1; 0,199...9... = 0,2.
5. Доказать, что две разные десятичные дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них
    конечная, а другая периодическая с периодом 9.
6. Доказать, что если α = β , a β = γ , то α = γ т.е. что равенство обладает свойством
    транзитивности.
7. Существуют ли десятичные дроби α и β такие, что
                                             ∃n1 : (α ) n1 < ( β ) n1 ,
                                         ∃n 2 : (α ) n2 > ( β ) n2 ?
8. Доказать, что ∀α ∈ R
                                 (α ) n ≤ (α ) n +1 , (α ) n ≥ (α ) n +1 ∀n ,
                                   (α ) n ≤ α ≤ (α ) n ∀n .
9. Доказать, что α < β тогда и только тогда, когда
                                          ∃n : (α ) n < ( β ) n .
10. Доказать, что понятия "меньше" и "больше" обладают свойством транзитивности,
   т.е. если α < β , a β < γ , то α < γ .
11. Доказать, что для любых α , β ∈ R выполняется одно и только одно из трех
   соотношений : α < β , α = β или α > β .