Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 9 стр.

    Доказать следующие утверждения:
1. Последовательность {xn} ограничена тогда и только тогда, когда
                                   ∃M : ∀n | xn |≤ M .
2. У любого x ∈ R последовательности {( x) n } и {( x) n } ограничены.
3. У любого x ∈ R последовательность {( x) n } возрастает, а {( x) n } монотонно убывает.
4. Если монотонная последовательность {хn} целых чисел ограничена, то она
    стационарная, т.е.
                                 ∃N : ∀n ≥ N xn = x N .
5. Любая строго монотонная последовательность целых чисел является неограниченной.
6. Если монотонно возрастающая (убывающая) последовательность целых чисел
    является неограниченной, то у нее есть строго возрастающая (убывающая)
    подпоследовательность.
7. Любая числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или
    бесконечный).
8. Любая стационарная последовательность имеет конечный предел.
9. lim10 − n = 0 .
   n →∞

10. Для любого x ∈ R lim( x) n = x , lim( x) n = x .
                         n →∞             n →∞

11. Последовательность xn = (−1) n ⋅ 0,1 , n ∈ N , не имеет предела (ни конечного, ни
   бесконечного).
12. Если последовательность {xn} неограничена и монотонно возрастает (убывает), то
    lim xn = +∞ (соответственно lim xn = −∞ ).
    n →∞                             n →∞

13. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. Справедливо ли
    обратное утверждение?
14. Если последовательность сходится к + ∞ , то она ограничена снизу и неограничена
    сверху. Если же она сходится к − ∞ , то она ограничена сверху и неограничена снизу.
15. У любой неограниченной сверху (снизу) последовательности существует
    подпоследовательность, сходящаяся к + ∞ (соответственно к − ∞ ).
16. Если последовательность имеет предел (конечный или бесконечный), то и любая ее
    подпоследовательность сходится к тому же пределу.
17. Если монотонная последовательность действительных чисел ограничена, то она
    имеет конечный предел.
18. Для любого k ∈ N lim n k = +∞ .
                         n →∞

19. Привести пример последовательностей {xn} и {yn}, имеющих одно и то же множество
    значений и таких, что
    1) {xn} и {уn} сходятся, но lim xn ≠ lim y n ;
                                  n →∞           n →∞

   2) {xn} сходится, а {уn} расходится.
20. Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к разным пределам, но у них
   множества значений совпадают, то эти множества конечные.
21. Если последовательность {xn} такая, что x2 k → a , x2 k −1 → b и a ≠ b , то она
   расходится. Если же а = b, то lim xn = a .
                                         n →∞

22. У любой последовательности есть монотонная подпоследовательность.

                                       § 4.
                         Арифметика действительных чисел