Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 8 стр.

12. Доказать, что любой интервал числовой прямой содержит конечную десятичную
   дробь. Верно ли это утверждение для произвольного промежутка числовой
   прямой?
13. Под окрестностью заданной точки числовой прямой будем понимать любой
   интервал, содержащий эту точку. Доказать, что любые две точки числовой прямой
   имеют непересекающиеся окрестности.

                                     § 3.
                     Предел числовой последовательности

   Пусть имеется правило, которое каждому n ∈ N ставит в соответствие
некоторое a n ∈ R Тогда множество всевозможных пар (n;an) называется числовой
последовательностью и обозначается либо {an} либо an, n ∈ N , либо a1 , a 2 ,..., a n ,... .
Пара (n;an) называется n-м элементом этой последовательности и обычно
обозначается просто an. Число n называется номером, а число an – значением n-го
элемента.
   Последовательность {хп} называется ограниченной сверху, если ∃M : ∀nxn ≤ M .
Если же ∃m : ∀nxn ≥ m , то {xn} называется ограниченной снизу. Последовательность
называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
   Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если ∀nxn ≤ xn+1 .
Если же ∀nxn ≥ xn +1 , то {xn} называется монотонно убывающей. Последовательность
называется монотонной, если она или монотонно возрастающая, или монотонно
убывающая.
   Последовательность {xn} называется строго возрастающей, если ∀nxn < xn +1 . Если
же ∀nxn > xn+1 то {xn} называется строго убывающей. Строго возрастающие и строго
убывающие последовательности называются строго монотонными.
   Последовательность {yk} называется подпоследовательностью последовательности
{xn}, если
                                   ∀k ∃n = nk : y k = xnk ,
причем {nk} строго возрастает. Эта подпоследовательность обозначается {xnk } .
   Число х называется пределом последовательности {xn}, если
                         ∀(a; b) ∋ x ∃N : ∀n ≥ N xn ∈ (a; b) . (1)
   Любой интервал (a; b) ∋ x называется окрестностью числа (или точки) х и
обозначается O(х). Поэтому условие (1) можно записать еще и так:
                             ∀O(x) ∃N : ∀n ≥ N xn ∈ O(x) .
   В этом случае пишут lim xn = x или “ xn → x при n → ∞ ” и говорят, что
                               n →∞

последовательность {xn} сходится к х.
   Такие пределы называются конечными. Наряду с ними рассматриваются и
бесконечные пределы. А именно, если
                              ∀M ∃N : ∀n ≥ N xn > M ,
то пишут lim xn = +∞ или “ xn → +∞ при n → ∞ ” и говорят, что {xn} сходится к + ∞ .
           n →∞

Если же
                                  ∀m ∃N : ∀n ≥ N xn < m ,
то пишут lim xn = −∞ и говорят, что {xn} сходится к − ∞ .
          n →∞