Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Для любых действительных чисел а и b предел последовательности
nnn
bar )()( += ,
Nn ∈
, называется суммой чисел а и b и обозначается a+b, а предел последовательности
nnn
bax )()(= , , называется произведением чисел а и b и обозначается ab. Таким
Nn ∈
образом, по определению,
))()((lim
nn
n
baba +=+
∞→
nn
n
baab )()(lim
∞→
= .
Для заданного числа
а
число
b
такое, что
а+b=
0, называется противоположным
и обозначается
-a
, а число
х
такое, что
ах
=1, называется обратным и обозначается
1−
a
. По определению,
)( baba −+=−
,
1−
⋅= ba
b
a
.
Доказать следующие утверждения.
1. Для любых
Rba
∈
,
baba
nn
n
+=+
∞→
))()((lim
, .
baba
nn
n
+=+
∞→
))()((lim
2. Сумма любых двух действительных чисел существует и определена однозначно.
3. Сложение двух действительных чисел обладает свойством ассоциативности,
т.е.
)()( cbacba
++=++
∀
.
Rcba
∈
,,
4. Любое действительное число имеет противоположное, и притом единственное.
5. Для любого
a
–(–
a
)=
а
.
R∈
6. Для любых –(
а
+
b
)=(–
а
)+(–
b
)
.
Rba ∈,
7. Для любых
a
Rb
∈
,
abba
nn
n
=
∞→
)()(lim
,
abba
nn
n
=
∞→
)()(lim
.
8. Произведение любых двух действительных чисел существует и определено
однозначно.
9. Операции сложения и умножения действительных чисел связаны свойством
дистрибутивности, т.е.
acabcba +=+ )(
.
Rcba ∈∀ ,,
10. Умножение действительных чисел обладает свойством ассоциативности, т.е.
cabbca )()(
=
∀
.
Rcba
∈
,,
11. Для умножения справедливы правила знаков, т.е.
)()( abba −=−
,
(
∀
.
abba =−− ))( Rba ∈,
12. Любое действительное число имеет обратное, и притом единственное.
0≠a
13. Для любого ,
(
.
0≠a
)()(
11
−−
−=− aa aa =
−−
11
)
14. Для любых и
b
a
.
0≠a 0≠
111
)(
−−−
=⋅ abb
15. Для дробей вида
b
a
и , справедливы обычные правила сложения,
Rba ∈,
0≠b
вычитания, умножения и деления.
16.
0
1
lim =
∞→
n
n
;
0
1
2
=
∞→
n
n
lim
.
(Заметим, что здесь еще нет теоремы о пределе произведения.)
17. Если последовательность {
x
n
} имеет конечный предел, то
)(lim)(lim
n
n
n
n
xccx
∞→∞→
=
.
Rc ∈∀
18. Если 0 <
а
< 1, то
lim
.
0=
∞→
n
n
a
   Для любых действительных чисел а и b предел последовательности rn = (a ) n + (b) n ,
n ∈ N , называется суммой чисел а и b и обозначается a+b, а предел последовательности
xn = (a ) n (b) n , n ∈ N , называется произведением чисел а и b и обозначается ab. Таким
образом, по определению,
                                        a + b = lim((a ) n + (b) n )
                                                      n →∞

                                                 ab = lim(a) n (b) n .
                                                       n →∞

     Для заданного числа а число b такое, что а+b=0, называется противоположным
и обозначается -a, а число х такое, что ах=1, называется обратным и обозначается
a −1 . По определению,
                                                  a
                                a − b = a + (−b) , = a ⋅ b −1 .
                                                  b

   Доказать следующие утверждения.
1. Для любых a, b ∈ R
                        lim((a) n + (b) n ) = a + b , lim((a) n + (b) n ) = a + b .
                        n →∞                                  n →∞

2. Сумма любых двух действительных чисел существует и определена однозначно.
3. Сложение двух действительных чисел обладает свойством ассоциативности,
    т.е.
                           (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ R .
4. Любое действительное число имеет противоположное, и притом единственное.
5. Для любого a ∈ R –(–a)=а.
6. Для любых a, b ∈ R –(а+b)=(–а)+( – b ) .
7. Для любых a, b ∈ R
                                   lim(a ) n (b) n = ab , lim(a ) n (b) n = ab .
                                   n →∞                       n →∞

8. Произведение любых двух действительных чисел существует и определено
   однозначно.
9. Операции сложения и умножения действительных чисел связаны свойством
   дистрибутивности, т.е.
                                 a (b + c) = ab + ac ∀a, b, c ∈ R .
10. Умножение действительных чисел обладает свойством ассоциативности, т.е.
                                    a (bc) = (ab)c ∀a, b, c ∈ R .
11. Для умножения справедливы правила знаков, т.е.
                           a(−b) = −(ab) , (− a )(−b) = ab ∀a, b ∈ R .
12. Любое действительное число a ≠ 0 имеет обратное, и притом единственное.
13. Для любого a ≠ 0 (−a ) −1 = −(a −1 ) , (a −1 ) −1 = a .
14. Для любых a ≠ 0 и b ≠ 0 a −1 ⋅ b −1 = (ab) −1 .
                         a
15. Для дробей вида         a, b ∈ R и b ≠ 0 , справедливы обычные правила сложения,
                         b
   вычитания, умножения и деления.
         1         1
16. lim = 0 ; lim 2 = 0 .
    n →∞ n    n →∞ n

   (Заметим, что здесь еще нет теоремы о пределе произведения.)
17. Если последовательность {xn} имеет конечный предел, то
                                  lim(cxn ) = c lim( xn ) ∀c ∈ R .
                                          n →∞          n →∞

18. Если 0 < а < 1, то lim a = 0 .
                               n
                       n →∞

Страницы